Рекуррентно заданная функция

[ilia tutberidze]

здравствуйте.
Предлагаю вам обоснование введенной мною "рекуррентно заданной функции" (не последовательности а именно функции). Оно выглядит так:
пусть мы имеем некую заданную функцию $F(x)$ на отрезке [0 $a$) тогда, рекуррентно заданной функцией на ($a$ $\infty$) будем называть следующую функцию:



$F(x) =P\cdot F(x-a)$ где $P$ некое число.

Т.е. эта функция как бы самовоспроизводит себя на .($a$ $\infty$ )

Также можно ввести разные вариации такой функции, например:

$F(x) =F(x-a) ^P$ и т.д.


Я пришел к этой функции решая некую мою задачу. На эксклюзив не претендую но я не нашел подобной функции где либо.
Спасибо за внимание и буду рад отзыву профессионалов (я сам не математик, был физиком в прошлой жизни)

вопрос для математиков в том, что есть ли какие то интересные общие свойства для таких "рекуррентных" (самовоспроизводящихся) функций не взирая на конкретику этих функций. Т.е. вся фишка тут в том, что каждое значение этой функции в точке ($x$) оределяется значением этой же функции точке ($x$-$a$)

[worm2]

Вы, должно быть, знакомы с понятием "периодической функции"? Если нет — в Википедии есть статья.
Самый известный пример — тригонометрические функции, например, $\sin$ с периодом $2\pi$.
В случае $P = 1$ мы как раз приходим к периодической функции с периодом $a$.
Если $P\ne 1$, то для функционального уравнения $F(x)=P \cdot F(x-a)$ имеем следующее решение: $F(x)=P^{x/a}\cdot Q(x)$, где $Q(x)$ — любая периодическая функция с периодом $a$. Например, $F(x)=P^{x/a}\cos(2\pi x/a)$.
Уравнение $F(x)=\left[F(x-a)\right]^P$ сводится к предыдущему логарифмированием.

P.S. Здесь принято набирать формулы в нотации $\TeX$: нажмите под моим сообщением "Цитата" и посмотрите, как выглядел текст, из которого получились красивые формулы. Краткое руководство.

[пианист]

Есть еще квазипериодические функции.
Известный пример - тета-функция.

[ilia tutberidze]

да, можно сказать что периодическая функция конечно же частный случай "рекуррентной функции". Но в общем случае "рекуррентная функция" имеет свои свойства. например, если взять рекуррентную функцию вида $F(x) =P F(x-a)$, то значение этой функции в "узловых точках" $a$ 2$a$, 3$a$...... лежат на экспоненте. Если $F(x)=$k$ где $k$ постоянная. на орезке [0 $a$), то функция в узловых точках имеет разрывы. Также легко показать что если $F(x)$ непрерывна на орезке [0 $a$), то рекуррентная функция также непрерывна.

-- 06.04.2022, 16:50 --

worm2 в сообщении #1551999 писал(а):

: $F(x)=P^{x/a}\cdot Q(x)$, где $Q(x)$ — любая периодическая функция с периодом $a$. Например, $F(x)=P^{x/a}\cos(2\pi x/a)$.

я это не совсем понял: она не может быть "любой", ведь "рекуррентная функция" $F(x)$ на отрезке [$a$ $\infty$) полностью полностью определяется функцией $F(x)$ на отрезке [0 $a$)

[worm2]

Не "любой", а "любой периодической с периодом $a$".

[ilia tutberidze]

давайте рассмотрим простой пример: вот допустим $F(x)=x^2$ на отрезке [0 $a$). Каков будет вид рекуррентной функции $F(x)$ определенной для [$a$ $\infty$)? вы можете дать ей явный вид?

[worm2]

Могу.
Нам для начала нужна функция $G(x)$, периодическая с периодом $a$, на интервале $[0, a)$ совпадающая с $x^2$.
Вот её явный вид: $G(x)=\left(a\left\{\frac x a\right\}\right)^2$, где $\left\{\cdot\right\}$ — функция дробной части числа.
После этого находим искомую:

$$F(x)=P^{\frac x a}G(x)=P^{\frac x a}\left(a\left\{\frac x a\right\}\right)^2$$

[ilia tutberidze]

и еще один вопрос: всегда ли можно найти такую совпадающую с исходным функцию?

[worm2]

В условиях данной задачи — да. Если у нас функция $F$ хоть как определена на интервале $[0, a)$, то совпадающая с ней периодическая функция с периодом $a$ на всей числовой оси, определяется так: $G(x) = F\left(a\left\{\frac x a\right\}\right)$, дальше по той же схеме

[ilia tutberidze]

понял. тогда 1 вопрос

всегда ли можно найти явный вид рекуррентной функции для общего случая ? я имею в виду не саму исходную функцию а функциональную зависимость исходной функции с рекуррентной функцией, т.е. не только умножение на p или возведения в степень, а другие завизимости.
мой вопрос исходит из того, что например рекуррентную последовательность не взегда можно описать одной функцией ( на то и задана последовательность рекуррентно).

[Pphantom]

Тема перемещена из форума «Математика (общие вопросы)» в форум «Карантин»
по следующим причинам:

- неправильно набраны формулы в нескольких сообщения (краткие инструкции: «Краткий FAQ по тегу [math]» и видеоролик Как записывать формулы).

Исправьте все Ваши ошибки и сообщите об этом в теме Сообщение в карантине исправлено.
Настоятельно рекомендуется ознакомиться с темами Что такое карантин и что нужно делать, чтобы там оказаться и Правила научного форума.