Кратности собственных значений $AB$ и $BA$

[Verkhovtsev]

Пусть $A, B\,-$ матрицы $m \times n$ и $n \times m$ над полем. Легко показать, что у матриц $AB$ и $BA$ одинаковое множество с.з. Также понятно, что, в общем случае, у матрицы большего размера сумма кратностей с.з. будет больше. Вопрос состоит в том, всегда ли кратности с.з. у $AB$ и $BA$ совпадают вне $\lambda=0$? Или же можно подобрать такие $A$ и $B,$ что некоторое с.з. $\lambda\ne 0$ у $AB$ и у $BA$ будет иметь разные кратности?

Этот вопрос должен быть классическим - где про него можно прочитать? И как обстоят дела в бесконечномерном случае?

[nnosipov]

См. задачу 393 в задачнике: Фаддеев Д.К., Соминский И.С. Сборник задач по высшей алгебре. М.: Наука, 1977.

[Verkhovtsev]

Спасибо! Оказывается, задача уже упоминалась здесь, на форуме, и вы написали в той теме схожее сообщение.

В общем, вопрос имеет утвердительный ответ, по крайней мере, в конечномерном случае. Для этого достаточно показать равенство из задачи 393 в задачнике Фаддеева-Соминского:

$$\det (tE_n+BA)=t^{n-m}\det (tE_m+AB)\quad\quad(1)$$

Для квадратных матриц утверждение доказывается как угодно. Хотя бы так: пусть $A = P\begin{pmatrix}E_{r\times r} & 0 \\ 0 & 0\end{pmatrix}Q,$ где $P,Q\,- $ обратимые матрицы, $r\,-$ ранг $A.$ Тогда

$$AB = P\begin{pmatrix}E_{r\times r} & 0 \\ 0 & 0\end{pmatrix}QBPP^{-1} = P\begin{pmatrix}E_{r\times r} & 0 \\ 0 & 0\end{pmatrix}\begin{pmatrix}B_{11} & B_{12} \\ B_{21} & B_{22}\end{pmatrix}P^{-1} = P\begin{pmatrix}B_{11} & B_{12} \\ 0 & 0\end{pmatrix}P^{-1}.$$

$$BA = Q^{-1}QBP\begin{pmatrix}I_{r\times r} & 0 \\ 0 & 0\end{pmatrix}Q = Q^{-1}\begin{pmatrix}B_{11} & B_{12} \\ B_{21} & B_{22}\end{pmatrix}\begin{pmatrix}I_{r\times r} & 0 \\ 0 & 0\end{pmatrix}Q = Q^{-1}\begin{pmatrix}B_{11} & 0 \\ B_{21} & 0\end{pmatrix}Q.$$

Следовательно, $AB$ и $BA$ имеют одинаковые хар. многочлены в случае квадратных $A$ и $B$.

Далее утверждение легко обобщить на прямоугольные матрицы. Пусть $n>m.$ Тогда просто добавим к $A$ снизу нулевые строки и получим новую матрицу $A_0 = \begin{pmatrix}A \\ 0\end{pmatrix}$, соответственно добавим к $B$ нулевые столбы справа и получим матрицу $B_0 = \begin{pmatrix}B & 0\end{pmatrix}.$ Тогда $B_0 A_0 = BA,$ и $A_0B_0 = \begin{pmatrix}AB & 0 \\ 0 & 0\end{pmatrix} -$ обе размера $n\times n$. По доказанному

$$\det (tE_{n}+B_0A_0)=\det (tE_{n}+A_0B_0),$$

что равносильно утверждению задачи (1).

[nnosipov]

Verkhovtsev в сообщении #1550768 писал(а):

и вы написали в той теме схожее сообщение

Да, уже забыл.