Найти собственные числа матрицы

[Евгений Машеров]

Опять же - хорошо бы знать, что студенту начитали. И тогда то ли вопрос на знание определений и быструю сообразительность, то ли "проблема для решения".
Если ему сказали, что "ранг произведения матриц не превышает ранг сомножителей", то очевидно, что ранг $uu^T$ единица (сорри за очепятку, написал n-1, имея в виду, что n-1 нулевых с.з.). И остаётся только найти единственно ненулевое из определения собственных значений. А если поставлена задача расписать $\det((uu^T+I)-\lambda I)$ в виде многочлена и решить его - то упражняться можно долго...

[мат-ламер]

Евгений Машеров в сообщении #1540923 писал(а):

А если поставлена задача расписать $\det((uu^T+I)-\lambda I)$ в виде многочлена и решить его - то упражняться можно долго...

А если $u$ и $u^T$ переставить местами, то подсчёт упрощается.

[nnosipov]

мат-ламер в сообщении #1540926 писал(а):

А если $u$ и $u^T$ переставить местами, то подсчёт упрощается.

Вы имеете в виду связь между характеристическими многочленами матриц $AB$ и $BA$? Но это, кажется, более сложная задача.

[artempalkin]

мат-ламер в сообщении #1540926 писал(а):

А если $u$ и $u^T$ переставить местами, то подсчёт упрощается.

А как их переставить местами?

-- 28.11.2021, 19:00 --

nnosipov в сообщении #1540939 писал(а):

Вы имеете в виду связь между характеристическими многочленами матриц $AB$ и $BA$? Но это, кажется, более сложная задача.

Недавно тут мы этот вопрос обсуждали. Но какая связь, если матрицы неквадратные? Какая-то отдаленная разве что

[мат-ламер]

nnosipov в сообщении #1540939 писал(а):

Вы имеете в виду связь между характеристическими многочленами матриц $AB$ и $BA$?

Точнее говоря, связь между ненулевыми собственными значениями этих матриц.
(Между многочленами тоже есть связь. Наверное добавляется множитель $\lambda^{n-1}$ - это если $u$ вектор).
Кстати, мне кажется мало кто обратил на вторую часть сообщения zykov .

[nnosipov]

artempalkin в сообщении #1540941 писал(а):

Но какая связь, если матрицы неквадратные? Какая-то отдаленная разве что

См. задачу 393 из Фаддеев Д.К., Соминский И.С. Сборник задач по высшей алгебре. М.: Наука, 1977.

-- Вс ноя 28, 2021 23:52:26 --

мат-ламер в сообщении #1540942 писал(а):

Наверное добавляется множитель $\lambda^{n-1}$

Да.