обескубивание x^3 + 1

[maxal]

Разрешимо ли уравнение $x^3 + 1 = yz^3$ в натуральных числах $x,y,z$ с условием $y<x$ ?

(источник)

[nnosipov]

Сразу показалась какой-то нерешаемой (в случае отрицательного ответа).

[Andrey A]

Одни только догадки.

1) Запишем так: $\left\{\begin{matrix} x^3 \approx yz^3 \\ x>y\end{matrix}\right.$ Почленным делением получаем $x^2<z^3.$ Избавившись от $y$, можно свести часть проблемы к поиску "маленьких" $x^3 \equiv \pm 1 \mod z^3$ — таких, что $z^3>x^2\ (1)$ или $\log_z {x}<1,5.$

2) Параметры $x,z$ вз. просты. Если выполняется $x^3 \equiv 1 \mod z^3$, дробь $ \dfrac{z^3}{x}$ определена, а дробь в обратном движении (реверс) возвращает решение сравнения $x^3 \equiv -1 \mod z^3.$
Пример: $10^3-37 \cdot 3^3=1;\ \ 10^3 \equiv 1 \mod 3^3;\ \ \dfrac{3^3}{10}=2,1,2,3.$ Реверс: $3,2,1,2=\dfrac{3^3}{8};\ \dfrac{8^3+1}{3^3}=19;\ \ 8^3-19 \cdot 3^3=-1.$ То есть решения "кубического Пелля" для $\pm 1$ существуют как бы парами.

3) Отношение простого модуля к кубическому корню из единицы — почти палиндром, об этом было здесь. В центре палиндрома последовательность из двух знаков отличных на единицу. Реверс — отношение к корню из минус единицы. Частный случай — дробь $n+1,n.$ Выпишем подходящие: $n+1,n=\dfrac{n+1}{1} ,\dfrac{n^2+n+1}{n} $. Если бы в числителе последней дроби оказался куб, получили бы дробь нужного вида, поскольку условие $(1)$ выполняется: $n^2+n+1>n^2.$ Единственный удачный пример $18^3-17 \cdot 7^3=1$ (где $x>y$) имеет именно такую структуру $\dfrac{7^3}{18}=19,18.$ Поиск подобных решений сводится к уравнению $n^2+n+1=z^3$ (бесплатный wolfram, кстати, кроме $n=18$ других решений не видит). Что же в реверсе?

$$n,n+1=\dfrac{n}{1} ,\dfrac{n^2+n+1}{n+1}.$$

И поскольку $n^2+n+1<(n+1)^2$, условие $(1)$ не выполняется. Остается доказать, что описанный случай единственно возможный )