Отношение кубического корня из единицы по модулю к модулю

[fractalon]

Для простых $p$ при $3|(p-1)$ обозначим через ${t_3}(p)$ меньший кубический корень из единицы по модулю $p$ (кроме тривиального, единицы), то есть ${t_3}(p) = \min \left\lbrace{x \in {\mathbb N}, x>1\ :\ x^3 \equiv 1 \pmod p}\right\rbrace$.
Пусть $p_1, p_2, \dots$ - последовательность всех простых, для которых $3|(p_i - 1)$.
Верно ли, что последовательность $\left({\frac{{t_3}(p_i)}{p_i}}\right)_{i=1}^{\infty}$ равномерно распределена на $(0;\frac{1}{2})$?

[Andrey A]

Цепная дробь $\dfrac{p}{x}$ имеет вид $a_n,a_{n-1},...,a_2,a_1+1,a_1,a_2,...,a_{n-1},a_n$ (или в обратном движении) - почти палиндром с четным количеством знаков, причем $a_n>1$. Соответствующие континуанты без первого и последнего знаков образуют кубические корни из $1$ и $-1$ и обе $<\dfrac{p}{2}$. Отсюда следует существование ровно одного $x<\dfrac{p}{2}$, сравнмого с единицей по $\mod p$. Дробь $a_1,a_2,...,a_{n-1},a_n=\dfrac{k}{m}$ можно получить из представления $p=k^2+km+m^2\ (k>m)$. А вот о равномерности распределения предположение сомнительно хотя бы потому, что $x>\sqrt[3]{p}$ и кажется $x<\dfrac{p-\sqrt[3]{p}}{2}$. Но судить не берусь.

[Cash]

Andrey A в сообщении #1246907 писал(а):

А вот о равномерности распределения предположение сомнительно хотя бы потому, что ...

Проверка по всем $p<10^9$ позволяет практически не сомневаться в истинности этой гипотезы.

[Andrey A]

Cash в сообщении #1247428 писал(а):

$p<10^9$

Ого. Мне казалось, что по краям интервала должно быть светлее. Но соглашусь, это иллюзия: любую дробь можно продолжить до палиндрома и, если результат - простое, брать в статистику. Трудно представить себе существование каких-то "специальных зон" пониженной/повышенной вероятности возникновения простого.

[Andrey A]

$\dfrac{1}{\pi }\approx \dfrac{2}{7},\dfrac{227}{709},\dfrac{33120}{104047},\dfrac{504250}{1584139},\dfrac{24155430164}{75886521943},\dfrac{7789306864623}{24470829222457},...$

[fractalon]

Я провёл ещё экспериметы и выяснил (пока, конечно, в виде очень навязчивой гипотезы), что для любого $k$ последовательность $\left({\frac{{g_n}^{\left(\frac{p_n-1}{k}\right)} \pmod {p_n}}{p_n}}\right)_{n=1}^{\infty}$ равномерно распределена на (0;1), где $g_n$ - минимальный первообразный корень по модулю $p_n$ ($p_n$ - простые, для которых $p_n \equiv 1 \pmod k$).

[RIP]

fractalon в сообщении #1241315 писал(а):

Верно ли, что последовательность $\left({\frac{{t_3}(p_i)}{p_i}}\right)_{i=1}^{\infty}$ равномерно распределена на $(0;\frac{1}{2})$?

W. Duke, J.B. Friedlander, H. Iwaniec «Equidistribution of roots of a quadratic congruence to prime moduli»