Минимальный элемент в подмножестве множества N

[Middle]

"В любом непустом подмножестве множества натуральных чисел имеется минимальный элемент"
Док-во(Из Зорича):
Пусть M $\subset$ $\mathbb{N}$ . Если 1 $\in$ M, то minM=1.
Если теперь $1 \notin$ M, т.е. $1 \in E=\mathbb{N}\M$ . В множестве E должно найтись такое натуральное число $n \in E$ , что все натуральные числа, не превосходящие $n$, лежат в E, а $n+1 \in$ M. Если бы такого n не было, то множество E, содержащее 1, вместе с $n \in$ E содержало бы и $(n+1)$ и по принципу индукции совпадало бы с $\mathbb{N}$ . Последнее невозможно, поскольку $\mathbb{N}\setminus E=M \ne \varnothing$.
Найденное число $(n+1) \in M$ и будет минимальным в M, поскольку между $n$ и $n+1$, нет натуральных чисел.
У меня возник вопрос, касательно этого утверждения: "Если бы такого $n$ не было, то множество E, содержащее 1, вместе с $n \in$ E содержало бы и $(n+1)$ и по принципу индукции совпадало бы с $\mathbb{N}$". Почему из того, что такого $n$ нет, делается вывод, что $n+1 \in E$, а не тот, что среди натуральных чисел, не превосходящие $n$ найдутся те, что $\notin E$?

[Pphantom]

Тема перемещена из форума «Помогите решить / разобраться (М)» в форум «Карантин»
по следующим причинам:

- неправильно набраны формулы (краткие инструкции: «Краткий FAQ по тегу [math]» и видеоролик Как записывать формулы) - отдельные обозначения тоже нужно набрать как формулы и в любом случае не собирать их из "кусочков".

Исправьте все Ваши ошибки и сообщите об этом в теме Сообщение в карантине исправлено.
Настоятельно рекомендуется ознакомиться с темами Что такое карантин и что нужно делать, чтобы там оказаться и Правила научного форума.