Бесконечные произведения. Опечатка или я затупил?

[xagiwo]

novichok2018, если речь всё ещё о равенстве

ShMaxG в сообщении #1548185 писал(а):

$$\prod_{n=1}^{\infty}(1+z^n)=\exp\left( \sum_{n=1}^{\infty} \frac{(-1)^{n-1}}{n} \frac{z^n}{1-z^n} \right), \ |z| < 1.$$

, то прологарифмируйте и разложите в ряд Тейлора почленно.

[RIP]

novichok2018 в сообщении #1548323 писал(а):

$$ \sum_{k=1}^\infty\frac{kz^{k-1}}{1+z^k}=\sum_{m=1}^\infty \frac{(-z)^{m-1}} {\left(1-z^m\right)^2}. $$

Непонятно, почему это верно, если правильно посчитал.

Оба ряда равны

$$\sum_{k,m=1}^{\infty}(-1)^{m-1}kz^{km-1}.$$

[xagiwo]

ShMaxG в сообщении #1548185 писал(а):

$$\prod_{n=1}^{\infty}(1+z^n)=\exp\left( \sum_{n=1}^{\infty} \frac{(-1)^{n-1}}{n} \frac{z^n}{1-z^n} \right), \ |z| < 1.$$

Кстати, этот равенство чем-то интересно, кроме как учебная задача? Можно много таких составить, просто меняя коэфф-ты перед $\dfrac{z^n}{1-z^n}$ в правой части согласованно с желаемой левой, но если здесь есть что-то глубже, я был бы рад узнать.

[novichok2018]

RIP - как простому человеку догадаться до этого двойного ряда? Одинарные ряды - это результаты суммирования двойного в разных порядках?

[RIP]

novichok2018 в сообщении #1548589 писал(а):

RIP - как простому человеку догадаться до этого двойного ряда?

Не знаю. По-моему, это первое, что сразу приходит в голову: разложить общий член ряда в ряд Маклорена и поменять порядок суммирования.