2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки




На страницу Пред.  1, 2
 
 Re: Бесконечные произведения. Опечатка или я затупил?
Сообщение10.02.2022, 22:34 
Аватара пользователя
novichok2018, если речь всё ещё о равенстве
ShMaxG в сообщении #1548185 писал(а):
$$\prod_{n=1}^{\infty}(1+z^n)=\exp\left( \sum_{n=1}^{\infty} \frac{(-1)^{n-1}}{n} \frac{z^n}{1-z^n} \right), \ |z| < 1.$$
, то прологарифмируйте и разложите в ряд Тейлора почленно.

 
 
 
 Re: Бесконечные произведения. Опечатка или я затупил?
Сообщение10.02.2022, 22:47 
Аватара пользователя
novichok2018 в сообщении #1548323 писал(а):
$$
\sum_{k=1}^\infty\frac{kz^{k-1}}{1+z^k}=\sum_{m=1}^\infty
\frac{(-z)^{m-1}}
{\left(1-z^m\right)^2}.
$$
Непонятно, почему это верно, если правильно посчитал.

Оба ряда равны
$$\sum_{k,m=1}^{\infty}(-1)^{m-1}kz^{km-1}.$$

 
 
 
 Re: Бесконечные произведения. Опечатка или я затупил?
Сообщение10.02.2022, 22:59 
Аватара пользователя
ShMaxG в сообщении #1548185 писал(а):
$$\prod_{n=1}^{\infty}(1+z^n)=\exp\left( \sum_{n=1}^{\infty} \frac{(-1)^{n-1}}{n} \frac{z^n}{1-z^n} \right), \ |z| < 1.$$
Кстати, этот равенство чем-то интересно, кроме как учебная задача? Можно много таких составить, просто меняя коэфф-ты перед $\dfrac{z^n}{1-z^n}$ в правой части согласованно с желаемой левой, но если здесь есть что-то глубже, я был бы рад узнать.

 
 
 
 Re: Бесконечные произведения. Опечатка или я затупил?
Сообщение11.02.2022, 19:38 
RIP - как простому человеку догадаться до этого двойного ряда? Одинарные ряды - это результаты суммирования двойного в разных порядках?

 
 
 
 Re: Бесконечные произведения. Опечатка или я затупил?
Сообщение11.02.2022, 20:52 
Аватара пользователя
novichok2018 в сообщении #1548589 писал(а):
RIP - как простому человеку догадаться до этого двойного ряда?
Не знаю. По-моему, это первое, что сразу приходит в голову: разложить общий член ряда в ряд Маклорена и поменять порядок суммирования.

 
 
 [ Сообщений: 20 ]  На страницу Пред.  1, 2


Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group