Пентадекатлон мечты

[EUgeneUS]

Возможно, глупость скажу. Но тем не менее

Если минимальная 14-ка:

Yadryara в сообщении #1550880 писал(а):

Да, это новый мировой рекорд. 14-я 14-ка минимальная из известных непрерывных

нашлась в интервале:

Dmitriy40 в сообщении #1550876 писал(а):

Интересное в интервале 4-5e36:

то искать 15-ку "по низинам" смысла нет.
Хорошо, если она найдется в 40-значных числах.

[VAL]

Yadryara в сообщении #1550880 писал(а):

Да, это новый мировой рекорд. 14-я 14-ка минимальная из известных непрерывных.

Относительный. Только для чисел, имеющих по 12 делителей.
Цепочка из 14 чисел, имеющих по 24 делителя, открывается числом 25335305376270095455498383578391968.

[Yadryara]

VAL в сообщении #1550900 писал(а):

Относительный. Только для чисел, имеющих по 12 делителей.

Да, конечно. И я писал об этом:

Yadryara в сообщении #1550758 писал(а):

Я конечно знаю про A006558. Я имел в виду именно с 12-ю делителями.

VAL в сообщении #1550900 писал(а):

Цепочка из 14 чисел, имеющих по 24 делителя, открывается числом 25335305376270095455498383578391968.

И, разумеется, я это число там видел:

"a(14) <= 25335305376270095455498383578391968. - Vladimir Letsko, Jun 13 2015"

EUgeneUS в сообщении #1550896 писал(а):

то искать 15-ку "по низинам" смысла нет.
Хорошо, если она найдется в 40-значных числах.

Аргументация?

[Yadryara]

Подытожу 14-ки. Или 35-37 цифр или 41-42.

На этот раз справа количество найденных простых. И только 3 14-ки вплотную подобрались к требуемому(19).

1.  81208614941517230882469765804509145         N2-56-354126   20

 2.  139851236562860254263595357318785945        N2-36-531426   18

 3.  173897306650291046911304836208174041        S9-36-345216   21

 4.  464229183077084919573902995738353945        N2-46-134562   21

 5.  916597742887813823155276706510774041        S9-25-524136   21

 6.  2517124387010091134307674626028587545       N2-45-652431   21

 7.  2921805658430210327722006482004243545       N2-36-251634   21

 8.  4894738132059472206526016135636567641       S9-45-234165   21

 9.  13890423106071600478782934292543751115545   N2-41-561342   22

10. 26790815948011679597006026834798165325145   N2-53-245136   21

11. 176394399749303520412335701680709124287641  S9-36-125364   22

12. 241932253046233642976664116549337789441945  N2-53-245136   21

13. 318352321496722643091650863302210959462041  S9-36-125364   20

14. 490895443847464364984809930143389562897945  N2-53-245136   21

[Dmitriy40]

Yadryara
В принципе известно ещё две 14-ки, я проверял (в другой папке и не сразу вспомнил что и там надо их искать) паттерн Yadryara2=N2-41-256431, заметьте как кучно:
156457556422935340350263641838070506275545: 12, 12, 12, 12, 12, 12, 12, 12, 6, 12, 12, 12, 12, 12, 12, valids=14, ALL
167311805909377716915241854964496884368345: 12, 12, 12, 12, 12, 12, 12, 12, 48, 12, 12, 12, 12, 12, 12, valids=14, ALL

Кстати если число простых меньше 19-ти, то получается цепочка даже в некотором смысле "сильнее" требуемой, ведь вместо произведения простых нашлось само большое простое.

[EUgeneUS]

Yadryara в сообщении #1550902 писал(а):

EUgeneUS в сообщении #1550896

писал(а):
то искать 15-ку "по низинам" смысла нет.
Хорошо, если она найдется в 40-значных числах.
Аргументация?

Аргументация наивная, конечно. Если мы не можем определить аналитически, где искать 15-ку, то попробуем эмпирически: построим что-нибудь по известным данным, и продолжим в неизвестную область.
Например так:
1. Определим функцию $L_{12}(i)$, как минимальное число, с которого начинается цепочка чисел, имеющих ровно $12$ делителей, причем длина цепочки ровно $i$.
2. Определим функцию $\Lambda_{12}(i) = \lg (L_{12}(i))$

H1. Первая гипотеза. $\Lambda_{12}(i)$ - строго возрастает: $\Lambda_{12}(i+1) > \Lambda_{12}(i)$
H2. Вторая гипотеза. $\Lambda_{12}(i)$ - "вогнута", то есть разница между соседними значениями возрастает: $\Lambda_{12}(i+1) - \Lambda_{12}(i) > \Lambda_{12}(i) - \Lambda_{12}(i-1)$

Насколько понимаю, Вы с уважаемым Dmitriy40 уже нашли числа, которые могут считаться значениями $L_{12}(i)$ для $i = 11, 12, 13, 14$
На них можно проверить эти гипотезы.
Если гипотезы верны. То для увеличения цепочки на 1 нужно добавить несколько десятичных разрядов, по очень грубой прикидке $37/14 \approx 2.6$. То есть 15-ка будет не ранее $39...41$ десятичных разрядов. Но может и дальше, сильно дальше.

[Dmitriy40]

EUgeneUS в сообщении #1550918 писал(а):

Насколько понимаю, Вы с уважаемым Dmitriy40 уже нашли числа, которые могут считаться значениями $L_{12}(i)$ для $i = 11, 12, 13, 14$

Нет не могут. Разве что с сильными оговорками.

[Yadryara]

EUgeneUS в сообщении #1550918 писал(а):

Насколько понимаю, Вы с уважаемым Dmitriy40 уже нашли числа, которые могут считаться значениями $L_{12}(i)$ для $i = 11, 12, 13, 14$

Да, с оговорками, но есть и безоговорочные

$60, 735, 1274, 19940, 204323$ для $i = 1, 2, ... , 5$.

Думаю, 12-ка заслуживает отдельной последовательности в OEIS.

[EUgeneUS]

Yadryara в сообщении #1550921 писал(а):

Да, с оговорками,

Было бы интересно простроить
а) $\Lambda_{12}(i)$, честную, "без оговорок". От 14 и вниз, сколько получится построить.
б) либо $\tilde{\Lambda_{12}}(i)$ - "с оговорками", но одинаковыми для каждого значения. Опять же, от 14 и вниз, сколько получится построить.

И посмотреть, куда интерполируется 15-ка.

[Yadryara]

Ещё нашёл $368431323$ для $i = 6$.

EUgeneUS в сообщении #1550925 писал(а):

И посмотреть, куда интерполируется 15-ка.

Вы хотели сказать экстраполируется ?

[EUgeneUS]

(Оффтоп)

Yadryara в сообщении #1550928 писал(а):

Вы хотели сказать экстраполируется ?

да, конечно

-- 22.03.2022, 17:47 --

Yadryara в сообщении #1550928 писал(а):

Ещё нашёл $368431323$ для $i = 6$.

а такой был красивый, почти линейный тренд до $i=5$

ИМХО, по низким значениям $i$ сложно вообще о чем-то судить. Там будет сильный расколбас из-за дискретности.
Примерно как для $\pi(n)$
Интереснее от 14 и вниз ("без оговорок", насколько понимаю, будет сложно, почти невозможно. Но хотя бы с _одинаковыми_ "оговорками" для всех значений).

[Dmitriy40]

Зато следующие значения аж $L_{12}(6)=368431323$, $L_{12}(7)=155385466971$, $L_{12}(8)=18652995711772$, $L_{12}(9)=15724736975643$ (есть в таблице в A292580).
Причём $L_{12}(8)>L_{12}(9)$, т.е. первая гипотеза уже не верна.

[Yadryara]

EUgeneUS в сообщении #1550925 писал(а):

Было бы интересно простроить

Оказалось до 9-ти уже простроено:

$60, 735, 1274, 19940, 204323, 368431323, 155385466971, 18652995711772, 15724736975643$

[EUgeneUS]

Dmitriy40 в сообщении #1550931 писал(а):

Причём $L_{12}(8)>L_{12}(9)$, т.е. первая гипотеза уже не верна.

Да, на первых (до $i<10$) обе гипотезы убились.
Там, конечно, можно какие-то паттерны роста $\Lambda_{12}(i)$ искать.
Но на столь небольшом наборе данных это уже очень сильно похоже на нумерологию.
Пример для $i = 8,9$ снимает утверждение, что 15-ка не может найтись в том же (или близком) десятичном порядке, что и 14-ка.

Небольшая просьба, если не сложно, можно ли скинуть в одном посте найденные значения $\tilde{L_{12}(i)}$ для $i = 11, 12, 13, 14$, которые "с оговорками".

[Dmitriy40]

EUgeneUS в сообщении #1550935 писал(а):

Небольшая просьба, если не сложно, можно ли скинуть в одном посте найденные значения $\tilde{L_{12}(i)}$ для $i = 11, 12, 13, 14$, которые "с оговорками".

10: S2-26-123654: 735671707427254639225878113735641: 96, 48, 12, 12, 12, 12, 12, 12, 12, 12, 12, 12, 24, 24, 12, valids=11
11: S9-36-156432: 25691591382796674916702733044818841:192, 48, 12, 12, 12, 12, 12, 12, 12, 12, 12, 12, 12, 24, 96, valids=11
12: S9-31-324615: 30672844900422911770896074039231641: 24, 48, 96, 12, 12, 12, 12, 12, 12, 12, 12, 12, 12, 12, 12, valids=12
13: S2-31-463521: 176416950169949177133826602141532441: 24, 12, 12, 12, 12, 12, 12, 12, 12, 12, 12, 12, 12, 12,192, valids=13
14: S9-45-234165: 4894738132059472206526016135636567641: 48, 12, 12, 12, 12, 12, 12, 12, 12, 12, 12, 12, 12, 12, 12, valids=14, ALL

-- 22.03.2022, 19:32 --

С другой стороны известно что $L_{12}(10)\le430981534858706218000405849$:

Dmitriy40 в сообщении #1547989 писал(а):

Но я менее чем за час нашёл ещё два меньших числа:
430981534858706218000405849

Это к слову об "оговорках", на более 6 порядков меньше.