Новогодняя задача

[lel0lel]

Дед Мороз и Снегурочка играют в снежки. Изначально у них по $N$ снежков, у деда белые, у Снегурочки синие. Они кидают снежки поочереди. Какова вероятность, что после $N$ туров (тур это бросок одного, затем другого игрока) у каждого из игроков снежки будут монотонные. Снежки из игры не выбывают, таким образом после каждого тура количество снежков у каждого игрока равно $N$.

[wrest]

lel0lel в сообщении #1544689 писал(а):

Они кидают снежки поочереди.

То есть: сначала кидает первый, после чего у второго $N+1$ снежок, затем второй выбирает уже из $N+1$, кидает и по окончании тура у них опять по $N$. Затем опять кидает первый. Так?

[lel0lel]

Да

[mihiv]

$\dfrac {(N!)^2}{(N(N+1))^N}$

[TOTAL]

mihiv в сообщении #1544717 писал(а):

$\dfrac {(N!)^2}{(N(N+1))^N}$

При $N=1$ правильная вероятность равна единице.

[statistonline]

TOTAL в сообщении #1544741 писал(а):

При $N=1$ правильная вероятность равна единице.

Почему? Один тур, один белый снежок, один синий. $P = 1\cdot\frac{1}{2}$

[TOTAL]

statistonline в сообщении #1544746 писал(а):

TOTAL в сообщении #1544741 писал(а):

При $N=1$ правильная вероятность равна единице.

Почему? Один тур, один белый снежок, один синий. $P = 1\cdot\frac{1}{2}$

После одного тура у каждого будет по одному снежку. Один снежок не может быть разноцветным.

[statistonline]

TOTAL в сообщении #1544747 писал(а):

После одного тура у каждого будет по одному снежку. Один снежок не может быть разноцветным.

Да. Получается, что это случай, когда снежки одноцветные, и у каждого снова своего цвета.

[TOTAL]

statistonline в сообщении #1544749 писал(а):

TOTAL в сообщении #1544747 писал(а):

После одного тура у каждого будет по одному снежку. Один снежок не может быть разноцветным.

Да. Получается, что это случай, когда снежки одноцветные, и у каждого снова своего цвета.

У каждого одного цвета, но не обязательно (первоначального) своего.

[mihiv]

Да, я не учел, что после $N$ туров цвет может остаться прежним.

[lel0lel]

mihiv
Получается, что Вы искали вероятность того, что произойдет полный обмен цвета? Но формула при $N=2$ даёт вероятность $1/9$, что неверно, должно быть $1/4$ в Вашей постановке задачи.

[mihiv]

lel0lel, мне кажется, можно считать так:
В первом туре С. должна выбрать и бросить синий из 1б. +2с. Вероятность этого $\frac 23$.
Перед вторым туром у Д.М. 1с.+1б. Он должен выбрать белый. Вероятность $\frac 12$.
Затем С. выбирает синий из 2б.+1с. Вероятность $\frac 13$.
Вероятность смены цвета: $\frac 23\cdot \frac 12\cdot \frac 13=\frac 19$.

[lel0lel]

mihiv
Да, всё верно, я обсчитался.

[mihiv]

Рассмотрим систему с $N+1$ состояниями. Состояние системы определяется однозначно, например, количеством белых снежков у Д.М.
0 белых снежков-1-е состояние, 1 белый-2-е состояние, $\dots , N $белых $N+1$-е состояние. Тогда переходы системы из одного состояния в другое образуют однородную цепь Маркова.
Этой цепи соответствует матрица $p_{i,j}(n)$, матричные элементы которой -это вероятности того, что система за $n$ шагов перейдет из состояния $i$ в состояние $j. P(n)=Q^n$,где $Q$- матрица переходных вероятностей системы, т.е. $q_{i,j}$ это вероятность перехода системы из состояния $i$ в состояние $j$ за один шаг. Таким образом задача сводится к построению матрицы $Q$ и нахождению затем $p_{1,1}(N)$ . Для каждого конкретного $N$ можно построить матрицу $Q$. Это трех диагональная матрица, потому что возможные изменения номера состояния за один шаг $0$ или $\pm 1$.Ограничимся случаем $N=2$. Матрица $Q$ имеет вид:

$$\begin {pmatrix}\dfrac 13&\dfrac23&0\\\\\dfrac 16&\dfrac 23&\dfrac 16\\\\0&\dfrac 23&\dfrac 13\end {pmatrix}$$

Ее можно представить в виде $Q=AQ_1A^{-1}\eqno (1)$, где

$$Q_1=\begin {pmatrix}0&0&0\\0&\frac 13&0\\0&0&1\end {pmatrix}, A=\begin {pmatrix}2&1&1\\-1&0&1\\2&-1&1\end {pmatrix},A^{-1}=\begin {pmatrix}\frac 16&-\frac 13&\frac 16\\\\\frac 12&0&-\frac 12\\\\\frac 16&\frac 23&\frac 16\end {pmatrix}$$

С помощью разложения (1) получим:

$$Q^k=\begin {pmatrix}\frac 16+\frac 1{2\cdot 3^k}&\frac 23&\frac 16-\frac 1{2\cdot 3^k}\\\\\frac 16&\frac 23&\frac 16\\\\\frac 16-\frac 1{2\cdot 3^k}&\frac 23&\frac 16+\frac 1{2\cdot 3^k}\end {pmatrix}$$

Вероятность оказаться после $k$ туров в исходном (первом ) состоянии равна $p_{1,1}(k)=\frac 16+\frac 1{2\cdot 3^k}$. С ростом $k$ она стремится к $\frac 16$.

[lel0lel]

Это очень красивое решение. Стало хотя бы ясно как эту задачу решать по-человечески, а то я строил последовательность вероятностей для малых $N$. Думаю, что Дед Мороз, прочитав это, будет доволен и исполнит добрые пожелания форумчан)