2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки


Правила форума


В этом разделе нельзя создавать новые темы.

Если Вы хотите задать новый вопрос, то не дописывайте его в существующую тему, а создайте новую в корневом разделе "Помогите решить/разобраться (М)".

Если Вы зададите новый вопрос в существующей теме, то в случае нарушения оформления или других правил форума Ваше сообщение и все ответы на него могут быть удалены без предупреждения.

Не ищите на этом форуме халяву, правила запрещают участникам публиковать готовые решения стандартных учебных задач. Автор вопроса обязан привести свои попытки решения и указать конкретные затруднения.

Обязательно просмотрите тему Правила данного раздела, иначе Ваша тема может быть удалена или перемещена в Карантин, а Вы так и не узнаете, почему.



Начать новую тему Ответить на тему На страницу 1, 2  След.
 
 Вопросы по теории групп (смежные классы, фактор-группа)
Сообщение13.02.2006, 22:50 
Аватара пользователя


20/01/06
97
выпускник физфака МГУ
Я решил серьезно взяться за эту теорию (по книжке Хамермеша). После нескокльких десятков страниц мозги напрочь отказались работать. Почему смежные классы инавриантной (т.е. самосопряженной) подгруппы H группы G образуют так называемую фактор-группу G/H, порядок которой РАВЕН ИНДЕКСУ подгруппы H? По книжке это вроде как очевидно . :? А вам?

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение13.02.2006, 23:11 
Супермодератор
Аватара пользователя


29/07/05
8248
Москва
Сформулируйте, пожалуйста, определение индекса подгруппы.

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение13.02.2006, 23:19 
Аватара пользователя


20/01/06
97
выпускник физфака МГУ
PAV писал(а):
Сформулируйте, пожалуйста, определение индекса подгруппы.


Насколько помню, индекс подгруппы H в группе G - это отношение порядка группы G к порядку подгруппы H. Теорема Лагранжа гарантирует, что это отношение - целое. Кстати, может собака зарылась именно в доказательстве этой теоремы, перечитаю-ка я его.

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение13.02.2006, 23:25 
Супермодератор
Аватара пользователя


29/07/05
8248
Москва
AHOHbIMHO писал(а):
Насколько помню, индекс подгруппы H в группе G - это отношение порядка группы G к порядку подгруппы H. Теорема Лагранжа гарантирует, что это отношение - целое. Кстати, может собака зарылась именно в доказательстве этой теоремы, перечитаю-ка я его.


Ну правильно, факторгруппа G/H состоит из смежных классов, каждый из которых имеет объем |H|. А их количество, стало быть, равно как раз |G|/|H|.

В других курсах индекс подгруппы H определяется как раз как объем факторгруппы G/H. Такое определение, насколько я понимаю, лучше тем, что объемы G и H могут быть бесконечными, при том что объем G/H может быть конечным.

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение13.02.2006, 23:31 
Аватара пользователя


20/01/06
97
выпускник физфака МГУ
PAV писал(а):
AHOHbIMHO писал(а):
Насколько помню, индекс подгруппы H в группе G - это отношение порядка группы G к порядку подгруппы H. Теорема Лагранжа гарантирует, что это отношение - целое. Кстати, может собака зарылась именно в доказательстве этой теоремы, перечитаю-ка я его.


Ну правильно, факторгруппа G/H состоит из смежных классов, каждый из которых имеет объем |H|. А их количество, стало быть, равно как раз |G|/|H|.

В других курсах индекс подгруппы H определяется как раз как объем факторгруппы G/H. Такое определение, насколько я понимаю, лучше тем, что объемы G и H могут быть бесконечными, при том что объем G/H может быть конечным.


А, ну да, т.е. это очевидно, если вспомнить, что количество смежных классов равно количество элементов группы G (каждый элемент дает один смежный класс). Действительно, очевидно :)

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение13.02.2006, 23:32 


17/01/06
180
я не знаю откуда я пришел,куда я иду, и даже кто я такой
Дело в том, что смежные классы обладают тем свойством, что они между собой не пересекаются, а все вместе покрывают всю группу G. Поскольку в каждом смежном классе по{H} элементов, то количество смежных классов, умноженное на {H} , равно {G}.
А количество смежных классов - это и есть порядок фактор группы.

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение13.02.2006, 23:36 
Аватара пользователя


20/01/06
97
выпускник физфака МГУ
PAV, Dolopihtis, спасибо! Не мог сообразить, что каждый элемент дает один отличающийся от других смежный класс.

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение13.02.2006, 23:39 
Аватара пользователя


20/01/06
97
выпускник физфака МГУ
И еще, один вопросик. Я встретил понятие - совокупность, или что то же самое, комплекс. Это синоним подмножеству? Если нет, то чем они отличается?

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение13.02.2006, 23:41 
Супермодератор
Аватара пользователя


29/07/05
8248
Москва
AHOHbIMHO писал(а):
каждый элемент дает один отличающийся от других смежный класс.


Стоп, это неверно. Не каждый элемент группы G дает отличающийся от других смежный класс. Например, все элементы самой подгруппы H дают один и тот же смежный класс, совпадающий с этой подгруппой.

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение13.02.2006, 23:47 
Супермодератор
Аватара пользователя


29/07/05
8248
Москва
А вообще я бы рекомендовал читать "Алгебру" Ленга...

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение13.02.2006, 23:47 
Аватара пользователя


20/01/06
97
выпускник физфака МГУ
PAV писал(а):
AHOHbIMHO писал(а):
каждый элемент дает один отличающийся от других смежный класс.


Стоп, это неверно. Не каждый элемент группы G дает отличающийся от других смежный класс. Например, все элементы самой подгруппы H дают один и тот же смежный класс, совпадающий с этой подгруппой.


Разве? Счас, подумаем.

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение13.02.2006, 23:53 
Супермодератор
Аватара пользователя


29/07/05
8248
Москва
Если бы все элементы G порождали бы разные смежные классы, то порядок факторгруппы G/H был бы равен порядку G. Правильный ответ |G|/|H| получается как раз из-за того, что элементы G разбиваются на подмножества (по |H| элементов в каждом), причем элементы каждого из этих подмножеств порождают один и тот же смежный класс.

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение13.02.2006, 23:55 
Аватара пользователя


20/01/06
97
выпускник физфака МГУ
Берем элемент a, и составляем смежный класс из элементов $a h_1, a h_2, ...a h_{|H|}$, где $ h_1, h_2, ...a h_{|H|}$ - элементы подгруппы H. Пока верно?

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение13.02.2006, 23:55 


17/01/06
180
я не знаю откуда я пришел,куда я иду, и даже кто я такой
AHOHbIMHO писал(а):
И еще, один вопросик. Я встретил понятие - совокупность, или что то же самое, комплекс. Это синоним подмножеству? Если нет, то чем они отличается?


Насколько я знаю, похожий термин используется в некоторых книжках по теории групп для упрощения записи. Комплекс GH - это множество всевозможных G ,умноженных на всевозможные H. Т.е например смежный класс - это комплекс G_kH,где G_k фиксировано , а H пробегает все элементы H.

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение13.02.2006, 23:58 
Супермодератор
Аватара пользователя


29/07/05
8248
Москва
AHOHbIMHO писал(а):
Берем элемент a, и составляем смежный класс из элементов $a h_1, a h_2, ...a h_{|H|}$, где $ h_1, h_2, ...a h_{|H|}$ - элементы подгруппы H. Пока верно?


Пока верно, тем более что ничего не утверждается :wink:

Если взять любой элемент из построенного смежного класса, то он породит тот же смежный класс. И других элементов, порождающих тот же класс, нет.

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 24 ]  На страницу 1, 2  След.

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group