Dan_Te писал(а):
Вы все напутали =)
Вот у нас есть |G| элементов в группе. Теперь разрежем их на К смежных классов по нормальной подгруппе Н, получим
|G| = K*|H|. Теперь мы утверждаем, что все смежные классы образуют фактор-группу G/H. Тогда в фактор-группе будет, по определению, К элементов.
Нет, я не напутал. Вот в группе G есть нормальная подгруппа H с |H| элементами. Берем произвольный элемент

умножаем на каждый элемент подгруппы H, получаем один смежный класс, потом берем другой элемент

и умножаем на каждый элемент подгруппы H, получаем другой смежный класс. Всего получится |G| смежных классов (не обязательно различных), но по |H| смежных классов из них совпадают (это я уже выспавшись доказал, после того как поспал), например когда смежные классы получены умножением на элементы из подгруппы H. Таким образом, получаем |G|/|H| РАЗЛИЧНЫХ смежных классов, Т.е. порядок фактор-группы есть |G|/|H|, что и требовалось доказать.