Задача про циклическую группу третьего порядка

[B@R5uk]

vpb в сообщении #1541658 писал(а):

вычислите $a^{-3}ba^3$ двумя способами

Кстати, это самый грамотный подход. Он даже обобщается на общий случай, доказывая, что настоящая степень у второй образующей $b$ в группе $G=\left\langle a,b\mid a^n=b^m=e,\,a^{-1}ba=b^h\right\rangle$ на самом деле равна $\gcd(m,h^n-1)$. То есть, если НОД равен единице, то группа вырождается в циклическую.

-- 05.12.2021, 01:27 --

Sinoid в сообщении #1541661 писал(а):

sour в сообщении #1541644 писал(а):

$b = e$.

Это тоже неверно: в группе все элементы считаются различными.

Почему же не верно? В группе три элемента: $\left\{e=b,\,a,\,a^2\right\}$; как вы и требуете, все они различны. Вообще говоря, группа $G_1={e}$ формально тоже подходит под заданное ТС условие. Нигде же не сказано, что образующие обязаны отличаться от нейтрального элемента (впрочем, я смотрю, выше про это уже написали). Это не верно, прошу прощения. Вот это верно:

пианист в сообщении #1541649 писал(а):

Думается, использованные обозначения предполагают, что все соотношения между $a, b$ это то, что справа от $|$ плюс следствия из них.

[Sinoid]

B@R5uk в сообщении #1541662 писал(а):

В группе три различных элемента: $\left\{e,\,a,\,a^2\right\}$. Как вы и требуете все они различны.

Тут нет элемента $b$.

[B@R5uk]

Sinoid в сообщении #1541663 писал(а):

Тут нет элемента $b$.

Потому что символ "b" — это не элемент, а образующая. А элемент, образованный этой образующей на самом деле есть. Посмотрите по-внимательней, я исправил и дополнил предыдущее сообщение.

[sour]

vpb
Я знаю только один способ: слева-направо.
B@R5uk
А в какой программе вы рисовали эти графы? И где о графах Кэли вообще можно почитать?
пианист

Если $a^{-1}ba=b^3$, то
• Домножая левую и правую часть на $a$ получим $ba=ab^3$;
• Возводя левую и правую часть в пятую степень получим $a^{-1}b^5a=b$;
• Возводя левую и правую часть в четвертую степень имеем $a^{-1}b^4a=b^5$.
Подставляя в первое равенство вместо $b$ полученное во втором равенстве выражение имеем $a^{-1}b^5a^2=ab^3$.
Подставляя в последнее равенство вместо $b^5$ полученное в третьем равенстве выражение имеем $a^{-2}b^4=ab^3$.
Домножая левую и правую часть равенства на $a^{-1}$ получим $b^4=b^3$, из чего следует, что $b=e$.

-- 05.12.2021, 02:16 --

Sinoid
Ну хорошо, вот у меня есть группа $G=\left\langle a, b \mid ab=a^2=b^2=e\right\rangle$. Очевидно, что это $\mathbb{Z}_2$ и $a=b$. Как быть?

[svv]

Я решал почти так же: $ba=ab^3$, а дальше:
$(ba)^2=ab^4a=a^2b^5$
$(ba)^3=a^2b^6a=a^3b^4=b^4$
$(ba)^4=b^5a=ab$
$(ba)^5=ab^2a=a^2b^6$
$(ba)^6=a^2b^7a=e$
С другой стороны, $(ba)^6=((ba)^3)^2=b$.

[B@R5uk]

sour в сообщении #1541668 писал(а):

А в какой программе вы рисовали эти графы?

Вручную писал на Java генератор SVG-файлов (чтобы все координаты были математически точно расположены на окружностях и симметрично относительно друг друга), потом рендерил результат в Inkscape. Более-менее приличные диаграммы можно строить в Dia. А если надо сделать что-то масштабное с подгрузкой из *.graphml, то yEd вам в помощь. Он тоже в растр потом хорошо рендерить умеет. Gephi удобен для работы с гигантскими графами размером порядка тысяч и сотен тысяч нод (поддерживает автоматическое расположение элементов, впрочем, yEd тоже). Всё это свободное ПО.

sour в сообщении #1541668 писал(а):

И где о графах Кэли вообще можно почитать?

Исключительно про графы Кэли вряд ли что-то есть, никого они почему-то не интересуют. Во всяком случае я собирал по крупицам из интернета и википедий.

-- 05.12.2021, 03:05 --

Что-то как-то вы сложно всё это решаете. Вот же:

$$b=a^{-3}ba^3=a^{-2}(a^{-1}ba)a^2=a^{-2}b^3a^2=a^{-1}(a^{-1}ba)^3a=a^{-1}b^9a=(a^{-1}ba)^9=b^{27}$$

откуда $b^{26}=e$, что вкупе с $b^7=e$ приводит к $b=e$.

-- 05.12.2021, 03:32 --

sour в сообщении #1541668 писал(а):

Ну хорошо, вот у меня есть группа $G=\left\langle a, b \mid ab=a^2=b^2=e\right\rangle$. Очевидно, что это $\mathbb{Z}_2$ и $a=b$. Как быть?

Добавить степень:

$$G=\left\langle a, b \mid (ab)^n=a^2=b^2=e\right\rangle$$

и получится группа Диэдра .

[B@R5uk]

Sinoid, вот вам в догонку ещё один интересный пример: $G=\left\langle a,b\mid a^3=b^2=e,\,a^{-1}ba=b\right\rangle$ Сможете разобраться что с ним не так? Я на такие штуки по-началу весьма бодро напарывался.

[Sinoid]

sour в сообщении #1541668 писал(а):

$a=b$. Как быть?

Не включать $b$ в состав образующих группы, имхо.

-- 05.12.2021, 17:29 --

B@R5uk в сообщении #1541733 писал(а):

Сможете разобраться что с ним не так?

Особо заморочиться с этим сейчас не смогу. Первое, что приходит в голову - это то, что эта группа абелева.

[Someone]

Когда группа задаётся образующими и соотношениями, то предполагается, что в группе выполняются те и только те соотношения, которые выводятся из заданных в определении группы. В частности, в примере из стартового сообщения соотношение $a=e$ не выводится, поэтому оно не должно выполняться. Запрета на равенство образующих друг другу или единичному элементу нет. Если бы было иначе, сама идея задания группы образующими и соотношениями была бы не состоятельной.

[sour]

Sinoid

Цитата:

Не включать $b$ в состав образующих группы, имхо.

Ну а почему не включать? Ничего ж не нарушено. Нет такого правила, по которому нельзя разными буквами обозначать один и тот же элемент группы.
B@R5uk
В упор не вижу проблемы. Построил граф, выглядит как $\mathbb{Z}_2 \times \mathbb{Z}_3$.

[B@R5uk]

sour в сообщении #1541751 писал(а):

выглядит как $\mathbb{Z}_2 \times \mathbb{Z}_3$

Ну, хорошо, теперь найдите эту группу в списке. Не знаю, как намекнуть на проблему без явной подсказки. А знаю! Не смотрите на список групп, попробуйте сначала найти порядки каждого элемента в рассматриваемой группе.

-- 05.12.2021, 17:43 --

Sinoid в сообщении #1541741 писал(а):

Не включать $b$ в состав образующих группы, имхо.

Ну, вот я, например, пишу $\mathbb{Z}_n=\{a,I\,|\,a^n=I^2=I\}$, и всем сразу становится понятно, что я хочу обозначать нейтральный элемент группы буквой I, а не e, как это делается выше.

[Sinoid]

Someone в сообщении #1541750 писал(а):

Если бы было иначе, сама идея задания группы образующими и соотношениями была бы не состоятельной.

Someone
можете привести пример такой несостоятельности?

[Someone]

Sinoid в сообщении #1541762 писал(а):

можете привести пример такой несостоятельности?

artempalkin в сообщении #1541642 писал(а):

Я извиняюсь, может быть, я не совсем правильно понимаю обозначения, но если $a=b=e$, то все тоже работает, а значит подходит как минимум не только циклическая группа третьего порядка.

Это пример того, что нельзя допускать соотношения, не вытекающие из заданных, так как набор образующих и соотношений перестаёт задавать конкретную группу.

Запрещать выводимость соотношений конкретных видов (даже таких, как $a=b$ или $a=e$, где $e$ — единичный элемент) весьма странно, так как априори мы не знаем, какие соотношения можно вывести из заданного набора соотношений (более того, проблема тождества слов в группах в общем случае алгоритмически неразрешима). По этой причине также неестественно запрещать использование таких соотношений и в исходном списке соотношений; к тому же непонятно, какая польза проистечёт из этого запрета.

[sour]

B@R5uk

Цитата:

Ну, хорошо, теперь найдите эту группу в списке. Не знаю, как намекнуть на проблему без явной подсказки. А знаю! Не смотрите на список групп, попробуйте сначала найти порядки каждого элемента в рассматриваемой группе.

Два элемента порядка три, один порядка порядка 2 и 2 порядка 6. Все как и должно быть в $\mathbb{Z}_2 \times \mathbb{Z}_3$. Не понимаю. В чем дело?

[B@R5uk]

sour в сообщении #1541813 писал(а):

В чем дело?

Когда в группе 6-го порядка есть элемент 6-го порядка, то что это значит?