Уравнение в целых числах

[Andrey A]

$$(a-b)x^2+(b-c)y^2+(c-a)z^2=0$$

Тройка целых аргументов $a,b,c$ взаимно проста.

[Verkhovtsev]

Такие задачи изящно решать не умею, но параметризацией получилось следующее решение:

$$\left\{ \begin{array}{rcl} x & = & (b-c)(t^2-2st)-(a-b)s^2, \\ y & = & -t^2(b-c)+(s^2-2st)(a-b), \\ z & = & (a-b)s^2+(b-c)t^2. \end{array} \right,$$

где $s, t -$ целые параметры.

[nnosipov]

Давайте сначала задачу сформулируем четко. Что нужно сделать-то c этим уравнением?

P.S. Для какой-нибудь реальной олимпиады задачи следует формулировать полностью и ясно. Конечно, раздел "Олимпиадные задачи" не подразумевает, что задачи, обсуждаемые в нем, предлагаются для реальных олимпиад, но какая-то связь с реальностью должна быть.

[Andrey A]

nnosipov в сообщении #1541059 писал(а):

Что нужно сделать-то c этим уравнением?

Так решить в целых числах. Когда перед нами возникает задача, мы же не имеем путеводителя. В данном случае есть полное $2$х-параметрическое решение в целых, что несколько удивило. Следует добавить, конечно, "с точностью до пропорциональности" или приписать рациональный коэффициент $k$, хотя в таком уравнении это видно невооруженным глазом. Можно записать еще так:

$$\left\{\begin{matrix} x= & (b-c) (u+v)^2+(c-a) u^2\\ y= & (a-b) (u+v)^2+(c-a) v^2\\ z= & (a-b) u^2+(b-c) v^2 \end{matrix}\right.$$

Verkhovtsev зачет!

[mihiv]

А $x=y=z$ описывается этой параметризацией ?

[Andrey A]

mihiv
А вот спросите Verkhovtsev, может он наладит обратную связь. Я знаю только, что произвольных допущений по ходу решения не возникало.

[nnosipov]

Andrey A в сообщении #1541076 писал(а):

Так решить в целых числах.

Что, прямо найти все решения в целых числах (с доказательством, что других нет)? Или, как некоторые физики здесь понимают, найти только некоторые решения?

Во второй постановке эта задача неинтересна, так как очевиден алгоритм выписывания 2-параметрического семейства решений. В первой постановке --- не верю, что есть простой по форме ответ. В любом случае не вижу, что здесь нового и/или интригующего.

[scwec]

nnosipov в сообщении #1541086 писал(а):

очевиден алгоритм выписывания 2-параметрического семейства решений

Совсем очевидно 1-параметрическое решение с помощью секущих (можно менять знаки в правых частях)
$x = at^2 - ct^2 - 2at + 2ct + a - b$
$y = -at^2 + ct^2 + a - b$
$z = at^2 - ct^2 - 2at + 2bt + a - b$
Кстати, при $t=0$ здесь $x=y=z$

[nnosipov]

scwec
Я имел в виду 2-параметрическое семейство решений в целых числах. А в рациональных --- естественно, 1-параметрическое, как завещал один древний Диофант грек.

[scwec]

nnosipov
Понятно, что Вы имели в виду 2-парам.
Но мне хотелось показать, что есть простое решение в целых числах поставленной задачи (в условии нет ничего про степень параметризации)
Отсюда и мой текст.

[Andrey A]

Andrey A в сообщении #1541042 писал(а):

$$(a-b)x^2+(b-c)y^2+(c-a)z^2=0$$

Ладно. Запишем положительные решения подробно.

$$\left\{\begin{matrix} x= & \left | (b-c) (u+v)^2-(a-c) u^2 \right |/k\\ y= & \left | (a-b) (u+v)^2-(a-c) v^2 \right |/k\\ z= & \left | (a-b) u^2+(b-c) v^2 \right |/k \end{matrix}\right.,$$

где $k$ — рациональный коэффициент такой, что $x,y,z$ целые.

mihiv в сообщении #1541081 писал(а):

А $x=y=z$ описывается этой параметризацией ?

$v=-u,\ k=\dfrac{\left | (a-c)u^2 \right |}{n} \Rightarrow x=y=z=n.$

nnosipov в сообщении #1541086 писал(а):

В первой постановке --- не верю, что есть простой по форме ответ.

Дайте контрпример.

[Verkhovtsev]

Тут, собственно, сказали про секущие. Я использовал параметризацию:

$$y=t(x-1)+1.$$

Это прямая, соответствующая очевидному решению $x=y=z=1.$ Она пересекает квадрику в двух точках, одну из них мы знаем, а другая будет рациональной точкой, если и только если $t$ будет рациональным числом. Случаю $x=y=z$ будет соответствовать $t=1.$

nnosipov в сообщении #1541086 писал(а):

В первой постановке --- не верю, что есть простой по форме ответ.

А почему? Пусть $(x_0, y_0, z_0)\equiv(x', y', 1) -$ рациональное решение исходного уравнения, выберем $t$ так, чтобы прямая проходила через $(x', y').$ Voil\'a! Que si?

[nnosipov]

Andrey A в сообщении #1541180 писал(а):

Дайте контрпример.

Контрпример к чему?

Verkhovtsev в сообщении #1541184 писал(а):

А почему?

Почему я не верю? Потому что даже в задаче про описание пифагоровых троек (т.е. про решение уравнения $x^2+y^2=z^2$ в натуральных числах) ответ уже записывается в непростой форме. А в уравнении с тремя параметрами с чего бы ему быть простым?

[Andrey A]

nnosipov в сообщении #1541185 писал(а):

Контрпример к чему?

Пример решения, которое нельзя описать предложенным способом.

[nnosipov]

Andrey A
То, что Вы написали, я не считаю простой формой ответа. Это полуфабрикат (в процессе применения придется дополнительно выяснять, какие значения параметра $k$ можно брать для взятых произвольно значений $u$ и $v$).