Уравнение в целых числах

[Andrey A]

nnosipov в сообщении #1541189 писал(а):

дополнительно выяснять, какие значения параметра $k$...

Числитель — $\gcd (...)$ выражений в прямых скобках, знаменатель любой кроме нуля.

На всякий случай. Для примитивного решения $u,v$ вз. просты и $\dfrac{u}{v}=-1 \pm \sqrt{\dfrac{(c-a)(x+y)(y+z)}{(a-b)(x-y)(y-z)}}.$
То, что я написал и есть "с точностью до пропорциональности" — стандартная ситуация.

[nnosipov]

Andrey A в сообщении #1541191 писал(а):

Числитель — $\gcd (...)$ выражений в прямых скобках

Так его же надо вычислять. Поэтому и полуфабрикат.

Вот описание примитивных решений $(x,y,z)$ (т.е. с $\gcd{(x,y,z)}=1$) было бы более разумным занятием. Но, опять же, не верю, что оно имеет простой вид: слишком много в задаче параметров.

[maxal]

Andrey A в сообщении #1541042 писал(а):

$$(a-b)x^2+(b-c)y^2+(c-a)z^2=0$$

Тройка целых аргументов $a,b,c$ взаимно проста.

Это довольно стандартное уравнение. Описано, например, в книжке у Коэна, но с ошибкой, поэтому воспользуюсь теоремой 5 из своей статьи (Коэн там цитируется).
Берем частное решение $(x_0,y_0,z_0)=(1,1,1)$, из него получаем общее:

$$\begin{cases} x = \frac{p}q\left( (a-b)m^2 + 2(b-c)mn - (b-c)n^2\right), \\ y = \frac{p}q\left( -(a-b)m^2 + 2(a-b)mn + (b-c)n^2 \right), \\ z = \frac{p}q\left( (a-b)m^2 + (b-c)n^2 \right), \end{cases} $$

где $\gcd(m,n)=\gcd(p,q)=1$ и $q\mid 2\mathrm{lcm}(a-b,b-c)(c-a)$.

PS. Вот ещё статья (на французском) об оптимальной параметризации таких уравнений.
.

[Andrey A]

maxal
Разница в форме записи, на сколько понял. На новизну тут трудно претендовать, простота и общность решения как раз порадовали. Отчего и выложил. Спасибо за ссылки.

[nnosipov]

maxal в сообщении #1542990 писал(а):

Берем частное решение $(x_0,y_0,z_0)=(1,1,1)$, из него получаем общее:

$$\begin{cases} x = \frac{p}q\left( (a-b)m^2 + 2(b-c)mn - (b-c)n^2\right), \\ y = \frac{p}q\left( -(a-b)m^2 + 2(a-b)mn + (b-c)n^2 \right), \\ z = \frac{p}q\left( (a-b)m^2 + (b-c)n^2 \right), \end{cases} $$

где $\gcd(m,n)=\gcd(p,q)=1$ и $q\mid 2\mathrm{lcm}(a-b,b-c)(c-a)$.

А получаются ли здесь числа $x$, $y$, $z$ всегда целыми? Возьмем $m=n=1$, $p=1$, $q=2(c-a)$. Тогда $z=-1/2$.

-- Ср дек 15, 2021 13:31:29 --

Andrey A в сообщении #1542991 писал(а):

Разница в форме записи

Эта разница принципиальная.

[Shadow]

nnosipov в сообщении #1542997 писал(а):

Эта разница принципиальная.

Не думаю - все одно и тоже. Как более компактно превратить рациональные решения в целые. $\frac p q$ и есть тот спорный параметр, очень часто пропускающийся по умолчанию, знаменатель которого есть НОД получившихся значений, а числитель - любое целое. На самом деле имеем уравнение $aX^2+bY^2=(a+b)Z^2$ в целых, которое сводится к $ax^2+by^2=a+b$ в рациональных, которое полностью параметризуется, даже ничего не зная про $a,b$, благодаря точки $(1,1)$. И решение maxal есть и не больше, и не меньше чем решения данного уравнения в рац. числах от параметра $\frac m n$. Вот. Ровно как и другие решения, приведенные раньше. Принципиальное отличие, если что, вижу только в определении данного параметра $q$

maxal в сообщении #1542990 писал(а):

и $q\mid 2\mathrm{lcm}(a-b,b-c)(c-a)$.

Если нет опечатки, то было бы здорово.

[nnosipov]

Shadow в сообщении #1543007 писал(а):

Не думаю - все одно и тоже.

Форма решения от maxal более разумна, потому что с ней проще работать дальше. Но она дает лишние решения (не целочисленные). Не исключаю, что это неустранимо.

[Shadow]

nnosipov в сообщении #1543010 писал(а):

Форма решения от maxal более разумна

Я отредактировал свое сообщение - дал ссылку на решения maxal полученное с помощью секущих. Оно ничем не отличается и параметр $\frac p q$ вряд ли может иметь какой нибудь другой смысл, чем общепринятый.

[nnosipov]

Мне следовало бы написать "Форма записи решения (ответа на вопрос задачи) ...". Метод решения задачи (метод касательных секущих), естественно, одинаков, всем хорошо известен и поэтому его неинтересно обсуждать. Но сам ответ можно записывать в разных формах.

Пример: стр. 5-6 из брошюры Острика и Цфасмана "Алгебраическая геометрия и теория чисел: рациональные и эллиптические кривые" (МЦНМО, 2001), формулы (3), (4) (это один вариант) и формула (3')-(4') (это другой вариант). Мне представляется, что первый вариант удобнее для приложений, чем второй: не зря, например, авторы брошюры при доказательстве теоремы Ферма (стр. 29) используют именно формулу (4).

И, поскольку мы теперь видим ссылки на научные статьи, вопрос о форме записи ответа вполне содержательный.

[maxal]

nnosipov в сообщении #1542997 писал(а):

А получаются ли здесь числа $x$, $y$, $z$ всегда целыми?

Нет, не всегда. Утверждение в другую сторону - любое целочисленое решение представимо в таком виде. Но добавив требование делимости каждого из многочленов от $m,n$ на $q$, можно получить утверждение и в обратную сторону.

[maxal]

maxal в сообщении #1542990 писал(а):

PS. Вот ещё статья (на французском) об оптимальной параметризации таких уравнений.

Кстати, результаты этой статьи запрограммированы в PARI/GP, который умеет решать и параметризовать однородные квадратные уравнения в рациональных числах (функции qfsolve и qfparam), что в свою очередь наследуется в SageMath.