2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки




 
 Нелинейное рекуррентное соотношение
Сообщение13.11.2021, 20:19 
Аватара пользователя
Найти решение
$$a_n=5a_{n-1}+(-1)^n\cdot a_{n-2}, a_0=0, a_1=1$$

Попробовал через производящие функции, получил функциональное уравнение:
$$f(x)(2-5x-x^2)=x+f(-x)$$
Последнее тоже неясно как решать.

 
 
 
 Re: Нелинейное рекуррентное соотношение
Сообщение13.11.2021, 20:30 
А почему нелинейное? Линейное, с непостоянными коэффициентами только.

 
 
 
 Re: Нелинейное рекуррентное соотношение
Сообщение13.11.2021, 20:37 
Аватара пользователя
Хорошо, согласен.

 
 
 
 Re: Нелинейное рекуррентное соотношение
Сообщение13.11.2021, 20:53 
Это линейная рекурсия с постоянным коэффициентами четвёртого порядка.$$a_n=25a_{n-2}+a_{n-4}$$.

 
 
 
 Re: Нелинейное рекуррентное соотношение
Сообщение13.11.2021, 21:09 
Там ошибки в условии нет?
Посчитал, вышло большое выражение.

-- 13.11.2021, 21:11 --

$$\begin{pmatrix}a_{2k+1} \\ a_{2k} \end{pmatrix}=
\begin{pmatrix}\frac{{{\left( \sqrt{17}\, \sqrt{37}-25\right) }^{k}}\, \left( 13892 \sqrt{17}\, \sqrt{37}-348466\right) \, {{\left( -1\right) }^{k}}+{{\left( \sqrt{17}\, \sqrt{37}+25\right) }^{k}}\, \left( 575 \sqrt{17}\, \sqrt{37}-15725\right) }{\left( 23 \cdot {{17}^{\frac{3}{2}}}\, {{37}^{\frac{3}{2}}}-364191\right) \, {{2}^{k}}}\\
-\frac{\sqrt{629-23 \sqrt{17}\, \sqrt{37}}\, \sqrt{23 \sqrt{17}\, \sqrt{37}+629}\, {{2}^{-k-1}}\, \left( {{\left( \sqrt{17}\, \sqrt{37}-25\right) }^{k}}\, {{\left( -1\right) }^{k}}-{{\left( \sqrt{17}\, \sqrt{37}+25\right) }^{k}}\right) }{629}\end{pmatrix}$$

 
 
 
 Re: Нелинейное рекуррентное соотношение
Сообщение13.11.2021, 21:15 
Запишем в матричном виде:
$$
\begin{pmatrix}a_2\\a_1\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}5&1\\1&0\end{pmatrix}\begin{pmatrix}a_1\\a_0\end{pmatrix}
$$
$$
\begin{pmatrix}a_3\\a_2\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}5&-1\\1&0\end{pmatrix}\begin{pmatrix}a_2\\a_1\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}5&-1\\1&0\end{pmatrix}\begin{pmatrix}5&1\\1&0\end{pmatrix}\begin{pmatrix}a_1\\a_0\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}24&5\\5&1\end{pmatrix}\begin{pmatrix}a_1\\a_0\end{pmatrix}
$$
Ну и понятно, что
$$
\begin{pmatrix}a_{2k+1}\\a_{2k}\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}24&5\\5&1\end{pmatrix}^k\begin{pmatrix}a_1\\a_0\end{pmatrix}
$$

Таким способом можно решать линейные рекуррентности с периодическими коэффициентами.

 
 
 
 Re: Нелинейное рекуррентное соотношение
Сообщение13.11.2021, 21:26 
Аватара пользователя
lel0lel. Да, действительно так. Надо было только со знаками поиграться:

Если
$$a_n-5a_{n-1}=-a_{n-2}$$
то
$$5a_{n-1}-25a_{n-2}=5a_{n-3}$$
$$a_{n-2}-5a_{n-3}=-a_{n-4}$$,
Складываем (1) и (2) и $5a_{n-3}$ выражаем из третьего: $a_n-25a_{n-2}=-a_{n-2}+a_{n+4}+a_{n-2}$
Если поменять знаки, то все равно получается тоже самое.

Всем спасибо.

 
 
 
 Re: Нелинейное рекуррентное соотношение
Сообщение13.11.2021, 22:47 
Padawan
Хороший способ, спасибо

 
 
 
 Re: Нелинейное рекуррентное соотношение
Сообщение13.11.2021, 23:16 
Аватара пользователя
В функциональном уравнении, которое я написал выше, ошибка.

Должно быть:
$$f(x)(1-5x)=x+x^2f(-x)$$
а также
$$f(-x)(1+5x)=-x+x^2f(x)\Rightarrow f(-x)=\frac{-x+x^2f(x)}{1+5x}$$
подставляя последнее в первое, получаем функцию:
$$f(x)=\frac{x+5x^2-x^3}{1-25x^2-x^4}$$
Она же является производящей для рекуррентного соотношения.

 
 
 [ Сообщений: 9 ] 


Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group