Нелинейное рекуррентное соотношение

[juna]

Найти решение

$$a_n=5a_{n-1}+(-1)^n\cdot a_{n-2}, a_0=0, a_1=1$$

Попробовал через производящие функции, получил функциональное уравнение:

$$f(x)(2-5x-x^2)=x+f(-x)$$

Последнее тоже неясно как решать.

[Padawan]

А почему нелинейное? Линейное, с непостоянными коэффициентами только.

[juna]

Хорошо, согласен.

[lel0lel]

Это линейная рекурсия с постоянным коэффициентами четвёртого порядка.

$$a_n=25a_{n-2}+a_{n-4}$$

.

[zykov]

Там ошибки в условии нет?
Посчитал, вышло большое выражение.

-- 13.11.2021, 21:11 --

$$\begin{pmatrix}a_{2k+1} \\ a_{2k} \end{pmatrix}= \begin{pmatrix}\frac{{{\left( \sqrt{17}\, \sqrt{37}-25\right) }^{k}}\, \left( 13892 \sqrt{17}\, \sqrt{37}-348466\right) \, {{\left( -1\right) }^{k}}+{{\left( \sqrt{17}\, \sqrt{37}+25\right) }^{k}}\, \left( 575 \sqrt{17}\, \sqrt{37}-15725\right) }{\left( 23 \cdot {{17}^{\frac{3}{2}}}\, {{37}^{\frac{3}{2}}}-364191\right) \, {{2}^{k}}}\\ -\frac{\sqrt{629-23 \sqrt{17}\, \sqrt{37}}\, \sqrt{23 \sqrt{17}\, \sqrt{37}+629}\, {{2}^{-k-1}}\, \left( {{\left( \sqrt{17}\, \sqrt{37}-25\right) }^{k}}\, {{\left( -1\right) }^{k}}-{{\left( \sqrt{17}\, \sqrt{37}+25\right) }^{k}}\right) }{629}\end{pmatrix}$$

[Padawan]

Запишем в матричном виде:

$$ \begin{pmatrix}a_2\\a_1\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}5&1\\1&0\end{pmatrix}\begin{pmatrix}a_1\\a_0\end{pmatrix} $$

$$ \begin{pmatrix}a_3\\a_2\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}5&-1\\1&0\end{pmatrix}\begin{pmatrix}a_2\\a_1\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}5&-1\\1&0\end{pmatrix}\begin{pmatrix}5&1\\1&0\end{pmatrix}\begin{pmatrix}a_1\\a_0\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}24&5\\5&1\end{pmatrix}\begin{pmatrix}a_1\\a_0\end{pmatrix} $$

Ну и понятно, что

$$ \begin{pmatrix}a_{2k+1}\\a_{2k}\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}24&5\\5&1\end{pmatrix}^k\begin{pmatrix}a_1\\a_0\end{pmatrix} $$

Таким способом можно решать линейные рекуррентности с периодическими коэффициентами.

[juna]

lel0lel. Да, действительно так. Надо было только со знаками поиграться:

Если

$$a_n-5a_{n-1}=-a_{n-2}$$

то

$$5a_{n-1}-25a_{n-2}=5a_{n-3}$$

$$a_{n-2}-5a_{n-3}=-a_{n-4}$$

,
Складываем (1) и (2) и $5a_{n-3}$ выражаем из третьего: $a_n-25a_{n-2}=-a_{n-2}+a_{n+4}+a_{n-2}$
Если поменять знаки, то все равно получается тоже самое.

Всем спасибо.

[lel0lel]

Padawan
Хороший способ, спасибо

[juna]

В функциональном уравнении, которое я написал выше, ошибка.

Должно быть:

$$f(x)(1-5x)=x+x^2f(-x)$$

а также

$$f(-x)(1+5x)=-x+x^2f(x)\Rightarrow f(-x)=\frac{-x+x^2f(x)}{1+5x}$$

подставляя последнее в первое, получаем функцию:

$$f(x)=\frac{x+5x^2-x^3}{1-25x^2-x^4}$$

Она же является производящей для рекуррентного соотношения.