Алгебра и геометрия, задача, найти расстояние между прямыми

[Alexander__]

Пожалуйста, подскажите правильно ли решена задача:

-----

Найдите расстояние между прямыми $\frac{x-2}{-2} = \frac{y+1}{4} = \frac{z}{-7}$ и $\frac{x-3}{1} = \frac{y-1}{2} = \frac{z+3}{3}$ (уравнения заданы в ОНБ).

-----

По условию направляющие векторы прямых (знаменатели в канонической форме): $\vec{a_1}\left( -2, 4, -7\right)$ и $\vec{a_2} \left(1, 2, 3\right)$.

Найдём $\vec{n}$, который перпендикулярен $\vec{a_1}$ и $\vec{a_2}$:

$\vec{n} = \left[a_1, a_2\right] = $ \left| \begin{array}{ccc} \vec{i} & \vec{j} & \vec{k} \\ -2 & 4 & -7 \\ 1 & 2 & 3 \end{array} \right| = \left( 26, -1, -8 \right)$

Далее построим плоскость с вектором нормали $\vec{n}$ и содержащую прямую 1: $26 x - y - 8 z + D_1=0$. Для нахождения $D_1$ выберем точку $M_1(2,-1,0)$, которая принадлежит прямой 1 (удовлетворяет уравнению прямой), а значит плоскости. Далее подставим в уравнение плоскости: $26 \cdot 2 + 1 - 0 + D_1 = 0$, откуда $D_1 = -53$.

Теперь для поиска решения достаточно найти расстояние от прямой 2 до плоскости. Выберем $M_2(3,1,-3)$ на прямой 2. Откуда расстояние от $M_2$ до плоскости найдём по формуле:

$$ h = \frac{\left| 26 \cdot 3 + 1 \cdot (-1) + (-3) \cdot (-8) - 53 \right|}{\sqrt{26^2 + 1^2 + 8^2}} = \frac{48}{\sqrt{741}} $$

[Pphantom]

Тема перемещена из форума «Помогите решить / разобраться (М)» в форум «Карантин»
по следующим причинам:

- неинформативный заголовок;
- не набраны формулы (краткие инструкции: «Краткий FAQ по тегу [math]» и видеоролик Как записывать формулы).

Исправьте все Ваши ошибки и сообщите об этом в теме Сообщение в карантине исправлено.
Настоятельно рекомендуется ознакомиться с темами Что такое карантин и что нужно делать, чтобы там оказаться и Правила научного форума.

[Pphantom]

Тема перемещена из форума «Карантин» в форум «Помогите решить / разобраться (М)»

[zykov]

Alexander__ в сообщении #1537197 писал(а):

Откуда расстояние от $M_2$ до плоскости найдём по формуле:

$$ h = \frac{\left| 26 \cdot 3 + 1 \cdot (-1) + (-3) \cdot (-8) - 53 \right|}{\sqrt{26^2 + 1^2 + 8^2}} = \frac{48}{\sqrt{741}} $$

Да, всё верно.
Мне кажется можно было бы чуть проще - взять проекцию вектора $\overrightarrow{M_1 M_2}$ на вектор $\vec n$.

$$ h = \frac{\left| 26 \cdot (2-3) + (-1) \cdot (-1-1) + (-8) \cdot (0+3) \right|}{\sqrt{26^2 + 1^2 + 8^2}} = \frac{48}{\sqrt{741}} $$

[iifat]

Ну, метод вполне допустимый (арифметику не проверял)

[Alexander__]

Благодарю за ответы.

Метод про проекцию векторов действительно изящнее.