Первое условие в пределении асимптотической устойчивости

[Liza Schneider]

Здравствуйте!

В определении асимптотической устойчивости положения равновесия есть два условия: 1) положение равновесия должно быть устойчиво (по Ляпунову); 2) Траектория движения должна асимптотически стремиться к положению равновесия.

Возникает вопрос о необходимости выполнения первого условия...

Помогите, пожалуйста, привести пример динамической системы вида $x'= f(x)$, где $x \in $\mathbb R$, у которой траектория движения асимптотически стремится к положению равновесия, но это положение равновесия неустойчиво.

Интуитивно понятно, что функция может "убежать" на бесконечность, затем вернуться к положению равновесия и дальше асимптотически стремиться к нему. Но мне не удаётся записать это в кванторах, и тем более привести конкретный пример функции.
Прошу навести меня на мысль, какого вида функцию можно взять, чтобы показать, что первое условие в определении асимптотической устойчивости действительно нужно, чтобы судить об устойчивости и "хорошем поведении" системы.

Заранее спасибо!

[Lia]

Тема перемещена из форума «Математика (общие вопросы)» в форум «Карантин»
по следующим причинам:

- просьба сделать заголовок более информативным,
- неправильно набраны формулы (краткие инструкции: «Краткий FAQ по тегу [math]» и видеоролик Как записывать формулы);
- отсутствуют собственные содержательные попытки решения задач(и).

Исправьте все Ваши ошибки и сообщите об этом в теме Сообщение в карантине исправлено.
Настоятельно рекомендуется ознакомиться с темами Что такое карантин и что нужно делать, чтобы там оказаться и Правила научного форума.