Уникальные размещения и сочетания на векторе с повторениями

[Munuvonaza]

Имеется некоторый вектор длины $M$ с различимыми, но потенциально повторяющимися элементами, например $(A, A, B, B, C, C, D, D)$, то есть $4$ различных вида элементов, каждого из которых по две штуки, которые в свою очередь неотличимы между собой. Необходимо найти число уникальных размещений и сочетаний длины $N$ на этом векторе

К сожалению, готовой формулы для числа уникальных размещений и сочетаний на векторе с повторениями, нигде не удается найти. Есть формула для перестановок в повторами (факториал суммы делить на произведение факториалов), но формулы для размещений и сочетаний с повторами совсем о другом (о выборе с возвратом), а не векторе элементов с повторами

Более-менее понятен ручной подход на основе правила произведения. К примеру, для вектора $(A, A, B, B, C, C, D, D)$ уникальные размещения длиной $3$ можно рассчитать так: в первую позицию можно разместить любой из $4$ различимых элементов. Во вторую позицию есть один способ $(X)$ разместить такой же элемент, как в первую, и $3$ способа $(Y)$ разместить другой элемент. В случае $(X)$ в третью позицию можно разместить любой из $3$ оставшихся, поскольку первые две позиции заняты одинаковыми элементами. В случае $(Y)$ есть $4$ способа разместить третью позицию. Получается $3 \cdot 1 \cdot 4 + 4 \cdot 3 \cdot 4 = 60$

Вопрос: есть ли готовая формула, зависящая от исходного вектора (число элементов $k$ и их повторов $k_1, k_2, ..., k_M$ ) и от длины $N$ целевого сочетания или размещения? Спасибо

[Pphantom]

Тема перемещена из форума «Помогите решить / разобраться (М)» в форум «Карантин»
по следующим причинам:

- неправильно набраны формулы (краткие инструкции: «Краткий FAQ по тегу [math]» и видеоролик Как записывать формулы);
- заодно стоит поправить пунктуацию, местами это явно нужно.

Исправьте все Ваши ошибки и сообщите об этом в теме Сообщение в карантине исправлено.
Настоятельно рекомендуется ознакомиться с темами Что такое карантин и что нужно делать, чтобы там оказаться и Правила научного форума.

[Pphantom]

Тема перемещена из форума «Карантин» в форум «Помогите решить / разобраться (М)»