Приведение теоремы Ферма к квадратному уравнению.

[LevN]

Пусть даны целые числа A, B больше 0, n больше 2.
A, B – взаимнопростые (не имеют общих множителей в составе числа).
Проверим возможность существования целого числа
$C = \sqrt[n]{A^n+B^n} $, (1)
Перепишем
$C = K \sqrt{AB} = \sqrt[n]{A^n+B^n} $. (2)
Чтобы C было целым, множитель K должен быть квадратным корнем рационального числа.
Возведем (2) в степень 2n
$K^{2n} (AB)^n = A^{2n}+2(AB)^n+B^{2n}$. (3)
$A^{2n}+(2- K^{2n}) (AB)^n+B^{2n} = 0$. (4)
Получилось квадратное уравнение относительно $A^n$.
Проверим, при каких значениях дискриминанта можно получить рациональные решения.
Корень из дискриминанта
$K^n B^n \sqrt{K^{2n}-4}$. (5)
Из (3) видно
$K^{2n}-4 = \frac{A^{2n}-2(AB)^n+B^{2n}}{(AB)^n}$, (6)
Соответственно
$\sqrt{K^{2n}-4} = \frac{A^n-B^n}{\sqrt{(AB)^n}}$. (7)
Решения уравнения (4) для $A^n$ при нечетных n будут иррациональными (частный случай A, B – полные квадраты – тоже решается). Соответственно, K для уравнения (2) будет иррационально в нечетной степени n. Также C в уравнениях (1), (2) будет иррационально.

Для $n=3$, $\sqrt{(AB)^3}$ – иррационально, $C = \sqrt[3]{A^3+B^3}$ тоже иррационально.

[Pphantom]

Тема перемещена из форума «Великая теорема Ферма» в форум «Карантин»
по следующим причинам:

- неправильно набраны формулы (краткие инструкции: «Краткий FAQ по тегу [math]» и видеоролик Как записывать формулы), в частности, не надо заменять кириллицей аналогичные по написанию латинские буквы.

Исправьте все Ваши ошибки и сообщите об этом в теме Сообщение в карантине исправлено.
Настоятельно рекомендуется ознакомиться с темами Что такое карантин и что нужно делать, чтобы там оказаться и Правила научного форума.