2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки


Правила форума


Посмотреть правила форума



Начать новую тему Ответить на тему На страницу 1, 2  След.
 
 Найти математическое ожидание
Сообщение28.09.2021, 15:59 


22/05/16
155
С каждым товаром покупатель получает наудачу некоторый элемент коллекции, состоящей из $n$ различных элементов. Какое среднее число покупок надо сделать, чтобы собрать полную коллекцию ?
Решение: Решил начать с $n=2$. $X$ - случайная величина числа покупок. С.В принимает следующие значения $2,3,4,5 $ и т.д. и соответствующие вероятности $\frac{1}{2},\frac{1}{4},\frac{1}{8},\frac{1}{16}$ и т.д. $M[X] = 1+\sum\limits_{i=2}^{n} \frac{i+1}{2^i}= 3 $. Похоже на правду? Попытался обобщить для $n=3$, но получается ерунда. Я наверное неправильно рассуждаю? Наверное, нужно иначе рассуждать ?

 Профиль  
                  
 
 Re: Найти математическое ожидание
Сообщение28.09.2021, 23:06 


18/09/21
670
Тут можно рассмотреть $n$ последовательных шагов.
Первый шаг:
Когда выпадет 1 уникальный предмет. Всегда ровно за одну покупку.
Второй шаг:
Когда выпадет второй уникальный предмет. Тут идёт процесс Бернулли. При каждой покупке либо будет старый предмет с вероятность $\frac 1 n$, либо новый с вероятностью $\frac{n-1}{n}$.
Третий шаг:
Аналогично. При каждой покупке либо будет старый предмет с вероятность $\frac 2 n$, либо новый с вероятностью $\frac{n-2}{n}$.
И т.д.

Для каждого шага легко посчитать матожидание количества покупок по распределению Бернулли.
Матождание полного количества покупок просто равно сумме этих матожиданий по шагам.

 Профиль  
                  
 
 Re: Найти математическое ожидание
Сообщение28.09.2021, 23:44 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


05/12/09
1406
Москва
Процесс то можно сказать Бернулли, а распределение нет.

 Профиль  
                  
 
 Re: Найти математическое ожидание
Сообщение28.09.2021, 23:52 


18/09/21
670
Да, распределение Бернулли относится только к одной покупке.
Используя это распределение можно найти матожидание количества покупок до перехода к следующему шагу точно так же, как ТС сделал для $n=2$.

 Профиль  
                  
 
 Re: Найти математическое ожидание
Сообщение28.09.2021, 23:58 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


05/12/09
1406
Москва
Лучше использовать другое классическое распределение, числа испытаний до появления первого успеха.

 Профиль  
                  
 
 Re: Найти математическое ожидание
Сообщение29.09.2021, 00:06 


18/09/21
670

(Оффтоп)

лучше, хуже - это вопрос философский, то бишь скользкий

 Профиль  
                  
 
 Re: Найти математическое ожидание
Сообщение29.09.2021, 01:41 


12/08/21
120
zykov в сообщении #1533125 писал(а):
Для каждого шага легко посчитать матожидание количества покупок по распределению Бернулли.

Да тут же надо просто взять обратную вероятность получить новый предмет

 Профиль  
                  
 
 Re: Найти математическое ожидание
Сообщение29.09.2021, 09:40 


22/05/16
155
alisa-lebovski в сообщении #1533140 писал(а):
Лучше использовать другое классическое распределение, числа испытаний до появления первого успеха.
. Если использовать геометрическое распределение, то:
$n=2 $ будет $ E[X]=1+\frac{1}{\frac{1}{2}}$
$n=3 $ будет $ E[X]=1+\frac{1}{\frac{2}{3}}+\frac{1}{\frac{1}{3}}$
Для произвольного $n $ будет $ E[X] = 1 + \sum\limits_{l=1}^{n-1}\frac{1}{\frac{l}{n}} = 1+n \sum\limits_{l=1}^{n-1}\frac{1}{l}$ . Как по распределению Бернули пока не разобрался, но по геом. распределению выглядит просто. Если я правильно понял подсказку?

 Профиль  
                  
 
 Re: Найти математическое ожидание
Сообщение29.09.2021, 09:53 


18/09/21
670
Да, можно чуть короче.
$1+n \sum\limits_{l=1}^{n-1}\frac{1}{l} = n \sum\limits_{l=1}^{n}\frac{1}{l}$

 Профиль  
                  
 
 Re: Найти математическое ожидание
Сообщение29.09.2021, 09:58 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


05/12/09
1406
Москва
dima_1985 в сообщении #1533169 писал(а):
Если я правильно понял подсказку?
Да.

 Профиль  
                  
 
 Re: Найти математическое ожидание
Сообщение13.10.2021, 17:51 


22/05/16
155
Сколько в среднем нужно бросить игральную кость($6$ гранй), чтобы получить последовательность очков $3,4$. Решение: $x$ -число бросков. $x=\frac{5}{6}(x+1)+\frac{1}{6}(\frac{5}{6}(x+2)+\frac{1}{6}2)$? $x=42$. Рассуждения:
1) $\frac{5}{6}(x+1)$-выпала не тройка начинаем сначала.

2)$\frac{1}{6}(\frac{5}{6}(x+2)+\frac{1}{6}2)$ - первая тройка , а вторая не четверка $\frac{5}{6}(x+2)$ начинаем сначала или вторая четверка $\frac{1}{6}2$. Что-то слишком много бросков $42$?

 Профиль  
                  
 
 Re: Найти математическое ожидание
Сообщение13.10.2021, 18:00 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


16/07/14
5183
Москва
Если после тройки выпала еще одна тройка, то начинаем не совсем с начала.

 Профиль  
                  
 
 Re: Найти математическое ожидание
Сообщение13.10.2021, 18:02 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


05/12/09
1406
Москва
dima_1985, аналогичное обсуждалось уже - topic147394.html

 Профиль  
                  
 
 Re: Найти математическое ожидание
Сообщение15.10.2021, 07:52 


22/05/16
155
alisa-lebovski в сообщении #1534843 писал(а):
dima_1985, аналогичное обсуждалось уже - topic147394.html
. Огромное спасибо !!!
mihaild в сообщении #1534842 писал(а):
Если после тройки выпала еще одна тройка, то начинаем не совсем с начала.

Вы системой описали в указанном топике и это более понятно. Для моей задачи система немного поменяется $\left\{
\begin{array}{rcl}
 a=1+\frac{5}{6}a+\frac{1}{6}b\\
 b=1+\frac{4}{6}a+\frac{1}{6}b \\
\end{array}
\right.$. Получилось,что в среднем нужно 36 бросков.

 Профиль  
                  
 
 Re: Найти математическое ожидание
Сообщение15.10.2021, 14:42 


18/09/21
670
Нет, тут тоже 42 броска в среднем.
$4/6$ и $1/6$ быть не может, в сумме должна быть 1.

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 19 ]  На страницу 1, 2  След.

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group