Кинематические связи в задачах динамики

[bataille]

Здравствуйте!

Задача
Найдите величины и направления ускорений всех блоков, изображенных на рис. 1. Определите направления их вращения. Массы бруска и верхнего блока равны $M$ и $m$ соответственно, остальные блоки невесомы. Нить невесома и нерастяжима.
В начальный момент система покоилась.
Рис. 1


Некоторые мысли
Дабы не пороть горячки, буду рассуждать малыми порциями.
Блок $1$ - массивный. Силы натяжения правого и левого конца нити, перекинутой через блок $1$, должны быть неодинаковы. В этом случае я прихожу к выводу, что уже к блоку $4$ будет приложен ненулевой момент, что плохо, ибо он невесомый. Значит, верно высказывание противоположное изначальному, т. е. силы натяжения правого и левого конца нити, перекинутой через блок $1$ одинаковы.
Верно ли?

[sergey zhukov]

bataille
Почему момент, приложенный к блоку 4, по вашему не нулевой?
Силы натяжения нити, перекинутой через массивный блок 1 при его ускоренном вращении действительно не равны. Его вращение в данной задаче будет ускоренным.

[realeugene]

bataille в сообщении #1529868 писал(а):

Верно ли?

Да.

-- 29.08.2021, 10:23 --

sergey zhukov
Автор задачи тщательно попытался всё запутать. Мне эта задача поэтому не нравится, она больше похожа на анекдот, чем на учебную задачу.

[sergey zhukov]

realeugene
Да, интересная задача. Если бы блок 1 не был по условию задачи массивным, она не имела бы однозначного решения. Массивность блока как раз определяет решение однозначно.

-- 29.08.2021, 13:22 --

Тут две одинаковые последовательно соединенные группы блоков, каждая из которых может работать независимо. В случае, если все блоки невесомые, решение неоднозначно:

Массивность первого блока равносильна условию, что первая группа должна быть неподвижна. Решение становится однозначным.

[bataille]

realeugene, sergey zhukov, спасибо за отклик.
Продолжу.

Для дальнейшей работы я ввожу координатную ось и отмечаю силы действующие на тела системы.

Это позволяет записать уравнения движения тел системы, а также уравнения кинематической связи. Приведу их здесь.
1) уравнения движения в порядке нумерации блоков
$ 0&=mg+2T_1-T_0 \\ \Delta ma_2_y&=\Delta mg+2T_2-T_1 \\ \Delta ma_3_y&=\Delta mg+T_2-2T_1 \\ \Delta ma_4_y&=\Delta mg-T_2 \\ \Delta ma_5_y&=\Delta mg+T_{2}^{\prime}-2T_2 \\ Ma_6_y&=Mg-T_{2}^{\prime} $
Здесь всем невесомым блокам я вынужден придать какую-то массу (?)

2) уравнения кинематической связи
$ a_2_y+2a_3_y=0 \\ a_4_y-a_3_y+2a_5_y-2a_2_y=0\\ a_6_y=a_5_y $

Кажется, составленную систему уравнений я смогу решить только в предположении $T_1=0$(?)

[sergey zhukov]

bataille
Нет. $T_1$ не будет равен нулю. Мы выяснили, что блок 1 неподвижен и не вращается (соответсвенно, блок 3 неподвижен и не вращается). Отсюда же следует, что и блок 2 неподвижен (но вращается). Т.к. единственный массивный блок неподвижен и не вращается, а все остальные блоки - невесомые, ничто не мешает грузу M падать свободно. Зная ускорение груза M, вычисляем ускорение остальных блоков.

[realeugene]

bataille в сообщении #1530001 писал(а):

ажется, составленную систему уравнений я смогу решить только в предположении $T_1=0$

Совершенно верно.

Вы уже сами почти всё решили. Дорешайте задачу до конца как запланировали, а потом рассмотрите сразу динамику блока 4.

[sergey zhukov]

realeugene
Ну надо же. Сам же написал про свободное падение и не сообразил, что это значит. Конечно, $T_1=0$.

[realeugene]

bataille в сообщении #1530001 писал(а):

Здесь всем невесомым блокам я вынужден придать какую-то массу (?)

Вот этим и плоха эта задача. При попытке посчитать ускорение невесомых блоков через силы и массы получается неопределённость типа $0/0$. Ускорения блоков нужно считать чисто кинематически.

[bataille]

realeugene в сообщении #1530010 писал(а):

Дорешайте задачу до конца как запланировали

$a_2_y=-\frac{1}{2}g$

$a_3_y=\frac{1}{4}g$

$a_2_y=\frac{7}{4}g$

$a_5_y=a_6_y=g$

realeugene в сообщении #1530010 писал(а):

а потом рассмотрите сразу динамику блока 4

Вот этот момент не понял.

[realeugene]

bataille в сообщении #1530015 писал(а):

Вот этот момент не понял.

Начните решение задачи с рассмотрения балланса действующих на него сил. Учитывая, что если любой блок имеет нулевую массу, то сила натяжения концов перекинутой через него нити равна.

-- 30.08.2021, 16:08 --

bataille в сообщении #1530015 писал(а):

$a_2_y=-\frac{1}{2}g$

Это неверно.

[bataille]

realeugene писал(а):

bataille в сообщении #1530015 писал(а):

$a_2_y=-\frac{1}{2}g$

Это неверно.

Только эта из всех проекций?

[realeugene]

bataille в сообщении #1530024 писал(а):

Только эта из всех проекций?

Эта очевидна. Остальные пересчитайте сами, разобравшись, почему вы ошиблись.

[bataille]

$a_2_y=a_3_y=0$;
$a_4_y=-2g$,
$a_5_y=a_6_y=g$.
Так?

[sergey zhukov]

bataille
Да.