Подобрать дифференциалльное уравнение к функции

[PSP]

Пусть имеется функция :

$$y(x)=A_{1} \sin( kx)+A_{2} \cos (kx)+A_{3}x +A_4$$

Можно ли подобрать такое дифференциалльное уравнение вида F(y',y'',y'',...)=0,решением которого эта функция бы являлась?

[Someone]

$$y''''+\frac{k^2}{\sin^2\alpha}y''=0$$

[PSP]

Someone писал(а):

$$y''''+\frac{k^2}{\sin^2\alpha}y''=0$$

Спасибо! Начал было упрощать запись функции,но ВЫ так быстро ответили...Днём в Мапле протестирую..Ещё раз большое спасибо!
Интересно, как Вы так быстро ответ нашли?

[Не_вари_козла]

А квадрат синуса в знаменателе не нужен. Описались, видимо.

[Dan B-Yallay]

PSP писал(а):

Интересно, как Вы так быстро ответ нашли?

Для уравнения, предложенного Не_вари_козла: $y'''' + k^2y'' = 0$ я могу только предположить следующеее:

Вторая производная "убивает" линейную часть функции. Получаем $ y'' =-k^2 \, A_1 \sin(kx) -k^2 \,A_2 \cos(kx) \qquad ( = w(x)) $.
Ну а это является решением $w'' + k^2w = 0$.

Над $\sin^2 \alpha$ в знаменателе я еще думаю. Это ж вроде какая-то константа, от $x$ не зависящая. Откуда...

[zoo]

PSP писал(а):

Пусть имеется функция :

$$y(x)=A_{1} \sin( kx)+A_{2} \cos (kx)+A_{3}x +A_4$$

Можно ли подобрать такое дифференциалльное уравнение вида F(y',y'',y'',...)=0,решением которого эта функция бы являлась?

Это делается с помощью определителя Вронского

[Someone]

Не_вари_козла писал(а):

А квадрат синуса в знаменателе не нужен. Описались, видимо.

Нет, не описáлся. Просто первоначально функция была записана в более сложном виде, и там вместо $k$ было $\frac k{\sin\alpha}$. Как оказалось, мой ответ застал вопрос в стадии интенсивного редактирования. Потом я уже исправлять не стал, тем более, что PSP и так понял.

[maxal]

PSP, замечание за злоупотребление цветами!

[PSP]

Someone писал(а):

$$y''''+\frac{k^2}{\sin^2\alpha}y''=0$$

Протестировал в Мапле,получил:

restart;dsolve(diff(diff(diff(diff(y(t),t),t),t),t)+k^2*diff(diff(y(t),t),t)=0,y(t));
y(t) = _C1 + _C2 t + _C3 sin(k t) + _C4 cos(k t)

Ура!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!! То, что надо!!!!!!!!!!!

Добавлено спустя 1 минуту:

Someone писал(а):

Не_вари_козла писал(а):

А квадрат синуса в знаменателе не нужен. Описались, видимо.

Нет, не описáлся. Просто первоначально функция была записана в более сложном виде, и там вместо $k$ было $\frac k{\sin\alpha}$. Как оказалось, мой ответ застал вопрос в стадии интенсивного редактирования. Потом я уже исправлять не стал, тем более, что PSP и так понял.

Да, так и было...

Добавлено спустя 2 минуты 8 секунд:

Re: Подобрать дифференциалльное уравнение к функции

zoo писал(а):

PSP писал(а):

Пусть имеется функция :

$$y(x)=A_{1} \sin( kx)+A_{2} \cos (kx)+A_{3}x +A_4$$

Можно ли подобрать такое дифференциалльное уравнение вида F(y',y'',y'',...)=0,решением которого эта функция бы являлась?

Это делается с помощью определителя Вронского

А как ?Пояснить можете?

Добавлено спустя 34 минуты 35 секунд:

А можно ли подобрать дифференциалльное уравнение вида F(y',y'')=0,т.е. только от от первой и второй производной для этой же функции?
Я просто не надеялся, что вообще можно подобрать, но раз с четвёртой производной есть...вдруг получиться и со второй..

[Brukvalub]

Нет, у Вас пространство решений содержит 4 линейно независимых функции, то есть, как минимум, 4-хмерно. А общее решение уравнения более низкого порядка будет зависеть от меньшего числа параметров, поэтому Ваша функция в его пространство решений просто "не поместится".

[RIP]

PSP
Откройте любой учебник по дифференциальным уравнениям и почитайте там про линейные дифф. ур-ия с постоянными коэффициентами.

[Jnrty]

Jnrty:

[mod="maxal"]PSP, замечание за злоупотребление цветами!

Добавлю до кучи: и за злоупотребление шрифтовыми выделениями.
Разве нельзя тот же вопрос написать обычным шрифтом?[/mod]

[PSP]

Jnrty писал(а):

Добавлю до кучи: и за злоупотребление шрифтовыми выделениями.
Разве нельзя тот же вопрос написать обычным шрифтом?

Всем спасибо!

А почему нельзя пользоваться цветом и выделением? Что тут плохого?

По делу:

Если считать, что найденное дифф.уравнение было получено в результате решения уравнения Лагранжа-Эйлера,то каков мог бы быть лагранжиан?

[Brukvalub]

PSP писал(а):

Если считать, что найденное дифф.уравнение было получено в результате решения уравнения Лагранжа-Эйлера,то каков мог бы быть лагранжиан?

Всегда думал, что ур-ние Эйлера-Лагранжа - это обыкновенное д.у. второго порядка

[PSP]

Brukvalub писал(а):

PSP писал(а):

Если считать, что найденное дифф.уравнение было получено в результате решения уравнения Лагранжа-Эйлера,то каков мог бы быть лагранжиан?

Всегда думал, что ур-ние Эйлера-Лагранжа - это обыкновенное д.у. второго порядка

Вы правы...В результате вот такой процедуры оно и получается:

$d L((y'(x))/dy'(x))/dx=0$

Лагранжиан L((y'(x)) здесь от первой производной, поэтому вторая степень обычно и получается...Но ведь лагранжиан может быть и более высокой степни...

Нет ли такой же процедуры для полученного в этой ветке уравнения $y'''' + k^2y'' = 0$ ?
Фактически, можно ли найти функционал для решения этого уравнения

$$y(x)=A_{1} \sin( kx)+A_{2} \cos (kx)+A_{3}x +A_4$$

?

Надеюсь, я понятно объяснил?