Гнеденко. Задача о частицах.

[upjump]

Доброго времени суток! Читаю Курс теории вероятностей, Гнеденко. Глава 1, параграф 8, пример 4.
ссылка на учебник: https://nmetau.edu.ua/file/gnedenko1988.pdf

Не могу до конца понять данную конструкцию:
$P(A(t + \Delta t)) = P(A(t))P(B_0(\Delta t)) + P(A(t-\tau))P(B_0(\tau))P(B_1(\Delta t)) + o(\Delta t)$
где $t$ - промежуток времени в который частицы попадают в счетчик; $\tau$ - промежуток времени в который счетчик не регистрирует частицы; $A(t)$ - событие, состоящие в том, что все попавшие за время $t$ в счетчик частицы были сосчитаны; $B_k(t)$ - событие, состоящие в том, что за время $t$ в счетчик попало $k$ частиц.

Понял что:
$P(A(t))P(B_0(\Delta t))$ - это вероятность события при котором все частицы попавшие в $t$ подсчитаны и ни одной частицы не попало в $\Delta t$
$P(A(t-\tau))P(B_0(\tau))P(B_1(\Delta t))$ - это вероятность события при котором все частицы попавшие в $t-\tau$ подсчитаны и ни одной частицы не попало в $\tau$ и одна частица попала в $\Delta t$

Не могу понять почему не рассматривается событие $P(A(t))P(B_1(\Delta t))$? Вроде нигде не сказано что $\Delta t$ < \tau и оно может быть достаточно большим чтобы получился случай - все попавшие частицы в $t$ подсчитаны и одна частица попала в $\Delta t$.

Помогите разобраться.

[Pphantom]

Тема перемещена из форума «Помогите решить / разобраться (М)» в форум «Карантин»
по следующим причинам:

- наберите то, что необходимо для понимания остальной части вопроса (условие примера, обозначения и т.п.).

Исправьте все Ваши ошибки и сообщите об этом в теме Сообщение в карантине исправлено.
Настоятельно рекомендуется ознакомиться с темами Что такое карантин и что нужно делать, чтобы там оказаться и Правила научного форума.

[Pphantom]

Тема перемещена из форума «Карантин» в форум «Помогите решить / разобраться (М)»

[upjump]

Попробую дополнить примером. Положу $t = 1$, $\tau = 0.3$, $\Delta t = 1$. Возьмем 4 частицы что попали в счетчик в заданное время: $a_0 = 0.3$, $a_1 = 0.6$, $a_2 = 0.9$, $a_3 = 1.5$. В таком порядке все частицы попавшие в счетчик будут зарегистрированы. Но такая комбинация не входит в событие $A(t)B_0(\Delta t)$, так как частица $a_3$ все же попала в $\Delta t$, и такая комбинация не входит в событие $A(t-\tau)B_0(\tau)B_1(\Delta t)$, так как есть частица $a_2$, которая попала в $\tau$.

[upjump]

быть может кто-то из участников форума знает изложение этой задачи у другого автора?

[tolstopuz]

Эта вероятность не превышает $A(t-\Delta t)(B_1(\Delta t)+B_2(\Delta t)+\cdots)B_1(\Delta t)=o(\Delta t)$.

Здесь $\Delta t$ является бесконечно малым, поэтому пример нерелевантен.

[upjump]

tolstopuz

Цитата:

Здесь $\Delta t$ является бесконечно малым, поэтому пример нерелевантен.

но там же не сказано что $\Delta t$ является бесконечно малым. Или вы имеете в виду что $o(\Delta t)$ является бесконечно малым?

[tolstopuz]

upjump в сообщении #1528254 писал(а):

tolstopuzно там же не сказано что $\Delta t$ является бесконечно малым.

Там устремляют его к нулю, поэтому все члены с $\Delta t^2$ и более высокими степенями прячут в $o(\Delta t)$ - ими можно пренебречь. И, конечно же, при $\Delta t\to0$ нас не интересует $\Delta t>\tau$.

Говоря простыми словами, мы пренебрегаем возможностью, что на промежутке $[t-\Delta t, t+\Delta t]$ случится более одного события.

[upjump]

tolstopuz

Цитата:

Там устремляют его к нулю

да, но это происходит на следующем шаге. А до этого $\Delta t$ произвольное. Мне бы очень помогло увидеть, что $A(t-\Delta t)(B_1(\Delta t)+B_2(\Delta t)+\cdots)B_1(\Delta t)=o(\Delta t)$ при произвольном $\Delta t$, если вас не затруднит.

[tolstopuz]

upjump в сообщении #1528278 писал(а):

tolstopuzМне бы очень помогло увидеть, что $A(t-\Delta t)(B_1(\Delta t)+B_2(\Delta t)+\cdots)B_1(\Delta t)=o(\Delta t)$ при произвольном $\Delta t$, если вас не затруднит.

$B_1(\Delta t)+B_2(\Delta t)+\cdots=1-B_0(\Delta t)=1-e^{-a\Delta t}=O(\Delta t)$, а $B_1(\Delta t)=a\Delta te^{-a\Delta t}=O(\Delta t)$ тоже. И их произведение будет уже второго порядка малости.

[upjump]

tolstopuz

Тогда $1-e^{-a\Delta t}=o(\Delta t)$ и $a\Delta te^{-a\Delta t}=o(\Delta t)$ при условии что $\Delta t \to \infty$, но если $\Delta t \to 0$, то обе функции одного порядка малости с $\Delta t$. Но как тогда можно увидеть что $A(t-\Delta t)(B_1(\Delta t)+B_2(\Delta t)+\cdots)B_1(\Delta t)=o(\Delta t)$? Подозреваю, что должно быть $P(A(t-\Delta t)) = o(\Delta t)$ при $\Delta t \to 0$, но не могу понять как это показать.

[Otta]

upjump
Предыдущий ответ достаточно полон. Что именно Вы в нем не поняли?

[upjump]

Otta

Цитата:

Предыдущий ответ достаточно полон. Что именно Вы в нем не поняли?

Смотрите, в задаче не сказано какое $\Delta t$ берется, то есть оно произвольное. На данный момент я не могу убедится в том, что $o(\Delta t)$ содержит все события, которые не вошли в $A(t)B_0(\Delta t)$ или $A(t-\tau)B_0(\tau)B_1(\Delta t)$ для любого наперед заданного $\Delta t$.

Я понимаю, что при $\Delta t \to \infty$ получается $A(t-\Delta t)(B_1(\Delta t)+B_2(\Delta t)+\cdots)B_1(\Delta t)=o(\Delta t)$.
Я понимаю, что при $\Delta t \to 0 получается A(t-\Delta t)(B_1(\Delta t)+B_2(\Delta t)+\cdots)B_1(\Delta t)=A(t)B_0(\Delta t)$.
Я не понимаю в какое из трех слагаемых
$A(t)B_0(\Delta t)$,
$A(t)B_0(\tau)B_1(\Delta t)$,
$o(\Delta t)$
входит $A(t-\Delta t)(B_1(\Delta t)+B_2(\Delta t)+\cdots)B_1(\Delta t)$ при условии что $\Delta t $\to b$ где $0<b<\infty$

[Otta]

upjump в сообщении #1528336 писал(а):

Я не понимаю в какое из трех слагаемых

upjump в сообщении #1528336 писал(а):

при условии что $\Delta t $\to b$ где $0<b<\infty$

Так не ставьте сами себе условий. Все, что происходит, направлено на единственную цель - получить формулу (4) и дальше. В них участвуют производные по $t$. Тем самым, $\Delta t$ - малое приращение аргумента.

(А формулки аккуратнее оформляйте, а то вон какое.)

[upjump]

Otta

Цитата:

(А формулки аккуратнее оформляйте, а то вон какое.)

Странно. Вроде все отображается корректно.

Цитата:

Тем самым, $\Delta t$ - малое приращение аргумента.

Что-то я совсем запутался. Если $\Delta t\to 0$, то тогда $o(\Delta t)$ вообще не имеет смысла, ведь тогда получается что $A(t-\Delta t)(B_1(\Delta t)+B_2(\Delta t)+\cdots)B_1(\Delta t)=A(t)B_0(\Delta t)$$.