Метрологическая проблема с определением скорости

[Interfere]

Начнем с простой задачи, заданной нам, студентам, в первый день обучения на физфаке.
Есть абсолютно растяжимая нить длиной $l$, один из концов которой закреплен в точке $x=0$. Эту нить начинают тянуть за другой конец с постоянной скоростью $u$.
На нити в точке $x=0$ находится муравей, который в момент $t=0$ начинает двигаться по нити с постоянной скоростью $v$. Вопрос: достигнет ли муравей другого конца нити?

Лирическое отступление: задачу можно решать разными способами, но она довольно легко решается через диф. уравнение первого порядка, и ответ - да, муравей достигнет конца нити.

Мне стало интересно чисто кинематическое описание движения этого муравья (пусть будет материальной точкой) в случае если он движется с ускорением a в положительном направлении $x$. Можно легко заметить, что скорость движения участка нити в произвольной точке x растет линейно с координатой $x$:

$$ u(x) = \frac{u x}{l + ut} = \frac{H x}{1 + Ht} $$

где $t$ — время, $H = u/l$ — некая постоянная, фактор растяжения.

Если мы попытаемся выразить общую скорость материальной точки на такой растяжимой нити, то придем к неоднородному дифференциальному уравнению первого порядка:

$$ \dot{x} = v + at + u(x) = v + at + \frac{H}{1 + Ht} x $$

с начальным условием $x(t=0) = 0$ (как вариант $\dot{x}(t=0) = v$).

Решением этого уравнения является функция

$$ x(t) = \frac{a}{H} t \left( 1 + Ht \right) + \left( \frac{v}{H} - \frac{a}{H^2} \right) \left( 1 + Ht \right) \ln\left( 1 + Ht \right) $$

Можно показать, что функция $x(t)$ при движении в обратном направлении имеет точно такой же вид в точности до перемены знаков.

Лирическое отступление: мне было любопытно найти зависимость времени $t$ как функцию от начальной длины нити $l$, и здесь я впервые столкнулся с $W$ функцией Ламберта в практике. Если кому интересно, то зависимость имеет вид:

$$ t = \frac{1}{H} \left[ \frac{1}{\Gamma}\cdot W_{-1}\left( \Gamma e^{\Gamma\Phi} \right) - 1\right]. $$

где $\Phi = 1 + \frac{l}{a} H^2$ и $\Gamma = \frac{a}{vH - a}$.

И здесь я заметил один любопытный момент. В случае, если материальная точка движется с ускорением $a = vH$,

$$ l(t) = l(1 + Ht) = vt(1 + Ht) $$

то время движения между двумя любыми точками на нити $l_0$ и $l_1$ будет таким же как и в случае движения этой материальной точки с постоянной скоростью $v$ между этими же точками, если нить не растягивается (сохраняет свою начальную длину $l$). При этом это время не зависит от расстояния.


Теперь к метрологической проблеме. В современной физике принята постоянная скорость света $c$ как скорость распространения взаимодействия. С другой стороны уже давно известно о том, что существует расширение вселенной, обусловленное расширением пространства. Все методы определения скорости света, насколько мне известно, построены на принципе измерения расстояния, которое свет (если быть точным то фронт волны) проходит за время $t$. И все этим методы дают одинаковую скорость $c$. Однако в случае расширяющегося пространства, пусть даже и с очень малым значением фактора расширения $H$, наблюдатель находящийся в системе отсчета связанной с одной из точек этого пространства не сможет при помощи подобного измерения отличить равномерное движение от равноускоренного со ускорением $a = Hc$.

Этот вопрос не дает мне покоя, т.к. тут либо какая-то моя ошибка в рассуждениях (огромная просьба указать на нее), либо это какое-то известное противоречие, которое снимается в ОТО или более продвинутых разделах физики, которые я знаю на уровне основных тезисов без опыта работы с соответствующим мат. аппаратом. Если имеет место какая-то моя ошибка, укажите мне на нее, ну а я пока что буду продолжать копать в этом направлении, т.к. довольно полезная зарядка для ума.

Дальше будут идти очень спорные размышления, и прошу меня не обвинять в потворстве лженауке, но я просто хочу привести некоторые интересные следствия, которые получаются если смягчить ряд требований, принятых в современных ОТО и СТО.

Пример 1.
Предположим, что распространение света удовлетворяет решению для расширяющегося пространства, приведенного выше. И предположим также, что испускаемый свет распространяется с начальной скоростью $c$ и ускорением $Hc$. Тогда, исходя из интуитивного представления о фронте волны, можно наглядно показать что длина волны будет увеличиваться с расстоянием, приводя к эффекту, известному как космологическое красное смещение (cosmological redshift). Однако сейчас этот эффект объясняется эффектом Допплера, вызванным относительной скоростью источников излучения, связанной с расширением вселенной.

Пример 2.
Рассмотрим теперь свет как пучок фотонов. Здесь будет приближенное к интуитивному представление о фотонах, как о частицах, а не как о результате квантования электромагнитного поля. Я понимаю, что это представление не верно, но на мой взгляд в простейшем приближении позволяет прийти к каким-то выводам. Пусть одиночный фотон так же движется с ускорением $Hc$ и начальной скоростью $c$ в пространстве расширяющемся по закону $(1 + Ht)$. Т.к. частица движется с ускорением, можно предположить что к не приложена какая-то сила (хотя вот тут я сам не очень понимаю что такое сила для безмассовой частицы). Сила эта очевидно пропорциональная ускорению, а следовательно не меняется во времени.

$ F = \dot{p} \propto a $

Ускорение может быть обусловленно двумя причинами:
1. Фотон движется в поле внешних сил, однако мы рассматриваем случай его свободного движения в пространстве без введения источников гравитации или других частиц с которыми он взаимодействует на своем пути, вплоть до встречи с приемником;
2. Фотон ускоряется за счет уменьшения своей энергии.

Тогда можно перейти к зависимости энергии фотона от ускорения:

$$ \frac{\delta E}{E_0} = 1 - \frac{al}{c^2} $$

где $l$ — путь, пройденный фотоном, $\delta E = E - E_0$ разница энергии фотона в у источника и у приемника, т.е. в начале и в конце пути. Учитывая, что $E = h\nu$, можно записать:

$$ \frac{h\nu}{h\nu_0} = \frac{al}{c^2} = \frac{Hl}{c} $$

где $\frac{h\nu}{h\nu_0} = z$ — параметр красного смещения (redshift), а сама формула

$$ cz = Hl $$

известна как закон Хаббла, где $H$ — постоянная Хаббла.
Я понимаю, что тут сделано довольно много допущений, но мне кажется, что формальный подход позволит прийти примерно к таким же результатам.

Для данного случая, на мой взгляд, существует критерий Поппера. Одним из доказательств описанного движения для фотона будет являться опыт, позволяющий получить независимые значения для импульса и энергии фотона (пусть даже с поправкой на условие неопределенности Гайзенберга, которое будет значительно меньше чем абсолютные значения $\delta E$ и $\delta p$ для достаточно больших $l$). Тогда, насколько я понимаю, при описанных условиях, импульс фотона должен значительно отличаться от вычисленного по классической формуле $p = \frac{E}{c}$.

Вот как-то так. Задача для разминки ума уже пару недель не дает мне покоя, и я буду очень признателен, если кто-то укажет мне на ошибку в вычислениях или на серьезные пробелы в интерпретации. Я понимаю, что неверные предпосылки вполне могут иногда приводить к верным результатам, но вот метрологическая проблема, описанная в первой части поста на мой взгляд имеет место в современной физике. Если кто знает про способы принципиально иного способа измерения скорости света по сравнению с описанным в большинстве учебников по СТО, прошу так же привести ссылки — мне будет очень интересно.

[wrest]

Interfere в сообщении #1527238 писал(а):

В современной физике принята постоянная скорость света $c$ как скорость распространения взаимодействия.

Ну это же локально всё... И потом, тут каждое слово требует ясного пояснения - что такое "скорость", "распространение", "взаимодействие" и даже что значит скорость "постоянная". Надо расставлять линейки, часы, наблюдателей...

[Interfere]

wrest в сообщении #1527240 писал(а):

Interfere в сообщении #1527238 писал(а):

В современной физике принята постоянная скорость света $c$ как скорость распространения взаимодействия.

Ну это же локально всё... И потом, тут каждое слово требует ясного пояснения - что такое "скорость", "распространение", "взаимодействие" и даже что значит скорость "постоянная". Надо расставлять линейки, часы, наблюдателей...

Почему локально? Я не очень понял этого тезиса, раскройте его полнее, если не сложно.

Ну а под скоростью света понимается константа, входящая в виде коэффициента в уравнения Максвелла и являющаяся скоростью распространения ЭМ волны в вакууме. Распространение - перенос энергии, в частности ЭМ волной. Я сейчас дал не точные формулировки, но не хочется сейчас переходить на спор о терминах.

[Pphantom]

Тема перемещена из форума «Дискуссионные темы (Ф)» в форум «Карантин»
по следующим причинам:

- неправильно набраны формулы (небольшие в тексте и отдельные обозначения).

Исправьте все Ваши ошибки и сообщите об этом в теме Сообщение в карантине исправлено.
Настоятельно рекомендуется ознакомиться с темами Что такое карантин и что нужно делать, чтобы там оказаться и Правила научного форума.

[Lia]

Тема перемещена из форума «Карантин» в форум «Дискуссионные темы (Ф)»

[Pphantom]

Interfere в сообщении #1527238 писал(а):

известна как закон Хаббла, где $H$ — постоянная Хаббла.

Если что, постоянная Хаббла постоянной не является, и в подобных случаях это необходимо учитывать. Так что рассуждения интересные, но к реальности они неприменимы.

[Interfere]

Pphantom в сообщении #1527292 писал(а):

Interfere в сообщении #1527238 писал(а):

известна как закон Хаббла, где $H$ — постоянная Хаббла.

Если что, постоянная Хаббла постоянной не является, и в подобных случаях это необходимо учитывать. Так что рассуждения интересные, но к реальности они неприменимы.

Я, собственно, и не настаиваю на правильности построений в примерах, хотя тема определения $H$ требует отдельной дискуссии. А как насчет основного вопроса с определением скорости света?

[Pphantom]

Interfere в сообщении #1527296 писал(а):

А как насчет основного вопроса с определением скорости света?

А расширения на малых масштабах нет, так что и проблемы тоже нет.

[Interfere]

Pphantom в сообщении #1527302 писал(а):

Interfere в сообщении #1527296 писал(а):

А как насчет основного вопроса с определением скорости света?

А расширения на малых масштабах нет, так что и проблемы тоже нет.

Это, конечно, удобно. Но нет ли в такой формулировке нарушения однородности пространства?

[Pphantom]

Interfere в сообщении #1527304 писал(а):

Но нет ли в такой формулировке нарушения однородности пространства?

С чего бы это?

[Interfere]

Pphantom в сообщении #1527313 писал(а):

Interfere в сообщении #1527304 писал(а):

Но нет ли в такой формулировке нарушения однородности пространства?

С чего бы это?

Да, возможно тут Вы правы. С другой стороны не очень понятно как расширение пространства может существовать на больших масштабах и отсутствовать на малых.

[Geen]

Interfere в сообщении #1527316 писал(а):

С другой стороны не очень понятно как расширение пространства может существовать на больших масштабах и отсутствовать на малых.

Очень просто - никакого "расширения пространства" не может быть в принципе, это просто (неудачная) фигура речи.

[Interfere]

Geen в сообщении #1527329 писал(а):

Interfere в сообщении #1527316 писал(а):

С другой стороны не очень понятно как расширение пространства может существовать на больших масштабах и отсутствовать на малых.

Очень просто - никакого "расширения пространства" не может быть в принципе, это просто (неудачная) фигура речи.

Почему Вы так решили?

[Pphantom]

Interfere в сообщении #1527332 писал(а):

Почему Вы так решили?

Наверное, лучше сначала вам изложить причины, по которым вы решили обратное.

[Interfere]

Pphantom в сообщении #1527339 писал(а):

Interfere в сообщении #1527332 писал(а):

Почему Вы так решили?

Наверное, лучше сначала вам изложить причины, по которым вы решили обратное.

Справедливо.
Я не силен в космологии, да и физику уже порядком забыл, но память моя хранила где-то в закромах эту концепцию о расширении пространства как объяснение того, что мы наблюдаем излучение от галактик которые удаляются от нас быстрее скорости света. Это просто гипотеза, насколько я могу судить. Кроме того ΛCDM я не осилил, быть может там есть другое всеми принятое объяснение. Pphantom быть может вы знаете как объясняется такая скорость?