Плавление льда в стакане

[sergey zhukov]

VASILISK11
Это инерциоид в том же смысле, в котором инерциоидом является корпус космического корабля, в котором бесятся космонавты. Корпус как-то перемещается, колеблется вокруг центра масс (который всегда неподвижен). Но мы знаем - если изнутри ничего не вылетит и внутрь ничего не прилетит - корпус никогда не переместится так, чтобы точка центра масс оказалась вне его.

Этот стакан вообще никакой не инерциоид. Он же опирается на землю. Знаете, есть такая игрушка: тележка на колесах с храповым механизмом, а на ней тяжелый эксцентрик на электродвигателе вращается. В невесомости эта тележка колебалась бы туда-сюда, а если ее поставить на поверхность, по которой она ездит без проскальзывания, то храповик препятствует движению назад, но не препятствует движению вперед. Тележка едет без всякого привода на колеса. Инерциоид? Конечно нет, ее толкает поверхность. Без поверхности она не перемещается.

[VASILISK11]

sergey zhukov в сообщении #1527218 писал(а):

Это инерциоид в том же смысле, в котором инерциоидом является корпус космического корабля, в котором бесятся космонавты. Корпус как-то перемещается, колеблется вокруг центра масс (который всегда неподвижен). Но мы знаем - если изнутри ничего не вылетит и внутрь ничего не прилетит - корпус никогда не переместится так, чтобы точка центра масс оказалась вне его.

В стакане возникают всплески давлений, когда изменяется мощность разогрева или заморозки, а так задача интересная, хотя не учтен гораздо более сильный эффект изменения массы воздуха в стакане.

[lel0lel]

VASILISK11 в сообщении #1527220 писал(а):

изменения массы воздуха в стакане.

Нагреватель только включили. Главный эффект это поток энергии от нагревателя, который создаёт избыточное давление.

[sergey zhukov]

Можно придумать аналогичную, но более простую для понимания задачу. Например: есть вертикальная шпилька с резьбой, по которой может, вращаясь, перемещаться без трения тяжелая гайка. Гайке в нижней точке шпильки придают вращение, и она начинает с замедлением подниматься по шпильке, а затем с ускорением - опускаться по шпильке. Центр тяжести "шпилька-гайка" перемещается вверх с отрицательным ускорением, а затем вниз - с положительным ускорением. Вес этой конструкции при движении гайки меньше, чем когда гайка неподвижна. Система "лед-вода" аналогична шпильке с гайкой, в которой гайка уже наверху с самого начала.

Интересно, что когда весь лед растает, возникнет "гидравлический удар", т.к. центр тяжести системы внезапно перестанет перемещаться. Это удар гайки о нижний конец шпильки.

А можно и еще проще пример привести: при подкидывании кирпича в лифте последний становится легче на вес кирпича, пока кирпич находится в полете.

[wrest]

sergey zhukov в сообщении #1527222 писал(а):

Система "лед-вода" аналогична шпильке с гайкой, в которой гайка уже наверху с самого начала.

Осталось показать как ускоренность движения ЦМ в случае с таянием льда следует из условий задачи :)

[Emergency]

druggist в сообщении #1527217 писал(а):

Объем это масса деленная на плотность(в данном случае - разность плотностей)

Упс. Без бумажки я букашка. :(

[EUgeneUS]

sergey zhukov в сообщении #1527210 писал(а):

Множитель $\frac{1}{2}$ так и не нашел.

Тут моя ошибка
Множитель-то $\frac{1}{2}$ появляется, но потом сокращается с двойкой от дифференцирования квадрата.

[lel0lel]

Решил тоже вспомнить технику дифференцирования. Получил ответ $\Delta p =\frac{ W^2}{\lambda^2S^2}\frac{\rho_1-\rho_2}{\rho_1\rho_2}$. Вроде это совпадает с ответом sergey zhukov. Но не нравится мне этот ответ. Если устремить мощность к бесконечности или теплоту плавления к нулю, то получим бесконечный скачек давления, а ему просто неоткуда взяться. В этом случае возникнет волна, но бесконечности не возникает. Понятно, что это связано со скоростью достижения равновесия системы, в расчётах мы полагали её бесконечной, на самом деле это не так, льду и воде требуется некоторое время чтобы принять новое положение равновесия. Возможно, что для медленных процессов формула и даёт верный ответ, но не покидает желание это проверить, рассмотрев систему как составную. В общем я бы не стал доверять этой формуле.

[EUgeneUS]

lel0lel в сообщении #1527243 писал(а):

Получил ответ $\Delta p =\frac{ W^2}{\lambda^2S^2}\frac{\rho_1-\rho_2}{\rho_1\rho_2}$. Вроде это совпадает с ответом sergey zhukov.

У меня также было записано (только при переписывании по памяти зачем-то вспомнил про $\frac{1}{2}$, которая сократилась)

lel0lel в сообщении #1527243 писал(а):

Если устремить мощность к бесконечности или теплоту плавления к нулю, то получим бесконечный скачек давления, а ему просто неоткуда взяться

Да ладно. При бесконечной подведенной мощности давление меняется скачком. В чем проблема?

lel0lel в сообщении #1527243 писал(а):

В общем я бы не стал доверять этой формуле.

Проблема не в скачке давления при бесконечной мощности. А в малости эффекта. Из-за чего другие эффекты могут вносить сравнимые, если не большие, поправки.
Например, сложно ожидать, что темрература воды между нагревателем и тающим льдом будет равна везде нулю Цельсия, по всей толщине/глубине.

[infomonium]

sergey zhukov в сообщении #1527210 писал(а):

Если сюда подставить выражения для масс и координат от времени и дважды продифференциировать

Я, конечно, воспользовался вашим советом написать пару формул, но где-то у меня явно нелепица выходит. По поводу выражений для массы, правильно ли будет записать:
$m_1(t)=\frac{Wt}{\lambda}, m_2(t)=m_2-\frac{Wt}{\lambda}$?

[lel0lel]

EUgeneUS в сообщении #1527246 писал(а):

При бесконечной подведенной мощности давление меняется скачком. В чем проблема?

В том, что этот скачëк бесконечный. Вот произошёл "тепловой удар", тогда жидкости, которая образовалась из растаявшего льда, требуется некоторое время чтобы занять новое положение равновесия. Будет удар, падающей жидкости о воду, но никаких бесконечностей нет и в помине. Это же не подводный взрыв, наоборот объём уменьшается, а не увеличивается. Бесконечность возникает только если считать, что равновесное состояние достигается мгновенно, а это совсем не так.

Хотя, как уже отмечал, давление при бесконечной мощности таки станет бесконечным, но по другой причине. Из-за потока энергии. Поэтому лучше говорить о бесконечно малой теплоте плавления.

[sergey zhukov]

infomonium
Правильно.

lel0lel
Конечно, тут очевидное квазистатическое приближение. В каждый момент времени система считается находящейся в равновесии. Ясно, что, например, при мгновенном плавлении льда (если такое было бы возможно) мы получили бы смесь из $9/10$ воды и $1/10$ вакуумных пузырьков, которая пролилась бы дождем за конечное время. Никакого скачка давления.

[Emergency]

sergey zhukov в сообщении #1527255 писал(а):

при мгновенном плавлении льда (если такое было бы возможно) мы получили бы смесь из $9/10$ воды и $1/10$ вакуумных пузырьков

Не вакуумных, а с насыщенным водяным паром.
Вакуум мог бы образоваться под выдергиваемым поршнем, но не в виде пузырьков. А фазовый переход не может быть мгновенным - структура льда какое-то время сохранится. И что характерно, в точках таких фазовых переходах давление пара над обеими фазами равны, что позволяет считать, что фазовый переход осуществляется посредством паровой фазы.

[EUgeneUS]

infomonium в сообщении #1527248 писал(а):

но где-то у меня явно нелепица выходит. По поводу выражений для массы, правильно ли будет записать:
$m_1(t)=\frac{Wt}{\lambda}, m_2(t)=m_2-\frac{Wt}{\lambda}$?

Нелепица во второй формуле.

[infomonium]

EUgeneUS в сообщении #1527270 писал(а):

Нелепица во второй формуле.

Рассуждаю так. Масса воды увеличивается настолько, насколько уменьшается масса льда. Предполагаем, что вначале был только лед массой $m_2$, вот эта масса и уменьшается на величину образовавшейся массы воды.