"Диагональное" доказательство теоремы Кантора

[epros]

Vladimir Pliassov, я кажется догадываюсь почему Вам не нравится диагональное доказательство несчётности множества последовательностей нулей и единиц. Вероятно потому, что оно неконструктивно. Об этом же свидетельствуют Ваши сомнения в существовании бесконечности, которые мне вполне понятны.

Действительно, множество конструктивно определённых последовательностей нулей и единиц -- счётно, а значит данный диагональный аргумент по отношению к нему не сработает. И дело действительно в бесконечностях: Любая конструктивно определённая последовательность определяется конечной формулой. А когда мы принимаем диагональное доказательство, то исходим из предположения, что пронумерованы все последовательности, включая такие, которые невозможно определить конечной формулой (что бы это ни значило).

[Vladimir Pliassov]

mihaild в сообщении #1526637 писал(а):

Vladimir Pliassov в сообщении #1526634 писал(а):

И именно это надо доказать. Но как? (Иначе, чем в приведенном доказательстве.)

Не иначе, а просто более алгебраично.
У нас есть функция $a: \mathbb N \to (\mathbb N \to \{0, 1\})$, которая из натурального числа делает последовательность (которая тоже является функцией). Зададим последовательность $b$ формулой $b(n) = 1 - a(n)(n)$. Легко показывается, что $\forall k: a(k) \neq b$. Следовательно, $b$ не лежит в образе $a$, т.е. $a$ не является нумерацией всех возможных последовательностей.

Разобрался с формулой и вижу, что в самом деле доказательство то же, только без привлечения иллюстрации в виде матрицы, то есть оно также основывается на том, что в список допускаются почему-то только последовательности с номерами от $1$ до $n$, а остальные $2^n -n$ последовательностей не допускаются. Таким образом, доказывается здесь только то, что инвертированная диагональ не может быть одной из строк квадратной матрицы.

Правда, первые $n$ номеров членов любой из последовательностей не могут находиться во взаимно-однозначном соответствии с номерами всех последовательностей, потому что их число больше $n$ (оно равно $2^n$). Но является ли это доказательством несчетности числа всех последовательностей? Ведь при любом конечном $n$ их можно пересчитать, то есть число единиц, из которых состоит $2^n$, при конечном $n$ не является несчетным.

epros в сообщении #1526651 писал(а):

Об этом же свидетельствуют Ваши сомнения в существовании бесконечности, которые мне вполне понятны.

Я не то чтобы сомневаюсь в существовании бесконечности, но пока что (как тот древний грек, о котором я писал выше) принимаю ее проявление только как обстоятельство, что к любому натуральному числу можно прибавить единицу. Как это возможно, я не понимаю, но принимаю это как данность.

epros в сообщении #1526651 писал(а):

я кажется догадываюсь почему Вам не нравится диагональное доказательство несчётности множества последовательностей нулей и единиц. Вероятно потому, что оно неконструктивно.

Цитата:

Википедия: Конструктивное доказательство — доказательство, в котором существование математического объекта доказывается путем прямого построения

то есть с предоставлением конкретного примера. Вы имеете в виду, что данном случае этим конкретным примером могла бы быть бесконечная матрица, но мы не можем ее предоставить?

epros в сообщении #1526651 писал(а):

Любая конструктивно определённая последовательность определяется конечной формулой.

Но это ведь не исключает того, что конечная формула может оперировать бесконечными объектами, как, например, при сложении двух бесконечных последовательностей: $c_i=a_i+b_i$, -- когда каждый член суммарной последовательности равен сумме соответствующих членов последовательностей-слагаемых? (Это ведь конечная формула, несмотря на то, что $i$ может принимать бесконечное число значений?)

Может быть, можно было бы найти конструктивное доказательство и для рассматриваемой теоремы? То есть такое, когда бесконечность привлекается, так сказать, умеренно, как у того древнего грека, который не брал сразу всю бесконечность (не писал $n=\infty$), а только соглашался, что всегда можно добавить еще единицу, то есть доказать, что теорема справедлива для любого конечного $n$ (так же как справедливо то, что можно сложить конечное число соответствующих членов складываемых бесконечных последовательностей), но потом добавить, что $n$ может принимать любое из значений от $1$ до $\infty$?

Но нет, при любом конечном $n$ последовательности будут конечными, и если их поместить после нуля с запятой, они будут участвовать в построении не иррациональных, а рациональных чисел -- а ведь теорема нужна именно для того, чтобы показать, что множество части иррациональных (то есть множество трансцендентных) чисел несчетно.

epros в сообщении #1526651 писал(а):

А когда мы принимаем диагональное доказательство, то исходим из предположения, что пронумерованы все последовательности ... (что бы это ни значило).

То есть (если имеются в виду все наши бесконечные последовательности) мы исходим из того, что $n=\infty$. Но тогда встает вопрос, что из себя представляет эта матрица, то есть квадратная ли она (в натуральную ли величину изваян ангел), и если квадратная, то теорема доказана, а если нет, то не доказана.

Единственное, что тут можно предложить, это принять как аксиому то, что она квадратная (вместе с тем, что ангел изваян в натуральную величину). Без такой аксиомы, по-моему, эту теорему диагональным методом не доказать.

Но если принять эту аксиому, то почему не принять контраксиому (что она не квадратная)?

[mihaild]

Vladimir Pliassov в сообщении #1526674 писал(а):

оно также основывается на том, что в список допускаются почему-то только последовательности с номерами от $1$ до $n$, а остальные $2^n -n$ последовательностей не допускаются

Нет конечно. У нас уже есть какой-то бесконечный список последовательностей, $a$ задает именно его. Никаких конечных списков тут нигде нет.
Вообще, бесконечные объекты не строятся как-то из конечных, они существуют "сразу целиком". Выражения вида "будем добавлять элементы по одному" - просто словесные конструкции, формализуются они во что-то статичное (например "есть функция, которая из натурального числа делает объект, который у нас есть на $n$-м шаге, и есть множество её значений").

Vladimir Pliassov в сообщении #1526674 писал(а):

Но является ли это доказательством несчетности числа всех последовательностей?

По определению, множество является (не более чем) счетным, если существует сюръекция из натуральных чисел в него. Пусть $a$ - функция из натуральных чисел в последовательности. Тогда построенная последовательность $b$ не лежит в образе $a$. Следовательно, $a$ - не сюръекция. Следовательно сюръекция из множества натуральных чисел в множество последовательностей не существует.
Никаких $2^n$, конечных последовательностей и подобного в этом рассуждении нет. Просто показали, что любая функция нужному нам свойству не удовлетворяет.

Vladimir Pliassov в сообщении #1526674 писал(а):

не писал $n=\infty$

И в этом доказательстве никто не пишет $n = \infty$. Вообще, знак $\infty$ редко встречается где-то кроме пределов (где он задает базу, а не какое-то число), и иногда компактификаций.

Вообще, вы уверены, что правильно поняли формулировку теоремы? Она говорит, что множество бесконечных последовательностей несчетно. Множество бесконечных последовательностей с множеством конечных последовательностей связано очень слабо (и в частности множество конечных последовательностей счетно). Никаких конечных последовательностей ни в формулировке, ни в доказательстве, нет, и их никто не считает.

[Nemiroff]

Vladimir Pliassov в сообщении #1526634 писал(а):

Прошу обратить внимание, что я выражаю сомнение не в самой теореме, а в ее диагональном доказательстве.

Хотя другого доказательства я пока что нигде не нашел, везде предлагают именно его. Нет ли какого-нибудь другого?

Цитата:

$\eqno (0.1)$ Пусть $X$ --- произвольное множество, $\mathcal{P}(X)$ --- множество всех подмножеств $X$.
$\eqno (0.2)$ Пусть $f$ --- биекция $X$ на $\mathcal{P}(X)$. Требуется доказать или опровергнуть её существование.
$\eqno (1)$ Пусть $Y = \{ x \in X : x \not\in f(x) \} $.
$\eqno (2)$ $f$ --- биекция, потому $Y = f(y)$ для некоторого $y \in X$.
$\eqno (3)$ Если $y \in Y$, то $y \in f(y)$ и $y \not\in Y$.
$\eqno (4)$ Если $y \not\in Y$, то $y \not\in f(y)$ и $y \in Y$.
$\eqno (5)$ Противоречие --- $f$ не существует.

[Vladimir Pliassov]

Nemiroff в сообщении #1526677 писал(а):

Цитата:

$\eqno (0.1)$ Пусть $X$ --- произвольное множество, $\mathcal{P}(X)$ --- множество всех подмножеств $X$.
$\eqno (0.2)$ Пусть $f$ --- биекция $X$ на $\mathcal{P}(X)$. Требуется доказать или опровергнуть её существование.
$\eqno (1)$ Пусть $Y = \{ x \in X : x \not\in f(x) \} $.
$\eqno (2)$ $f$ --- биекция, потому $Y = f(y)$ для некоторого $y \in X$.
$\eqno (3)$ Если $y \in Y$, то $y \in f(y)$ и $y \not\in Y$.
$\eqno (4)$ Если $y \not\in Y$, то $y \not\in f(y)$ и $y \in Y$.
$\eqno (5)$ Противоречие --- $f$ не существует.

Интересное доказательство. Пытаюсь увидеть в нем доказательство разбираемой теоремы, возник ряд вопросов.

Под $X$ понимается $\mathbb N$? Как множество всех его подмножеств $\mathcal{P}(\mathbb N)$ может заменить множество всех бесконечных последовательностей нулей и единиц? Вообще, разве последовательность повторяющихся элементов может считаться множеством (то есть в данном случае подмножеством множества $\mathbb N$)? (Последовательность неповторяющихся элементов может считаться множеством -- упорядоченным?)

[mihaild]

Vladimir Pliassov в сообщении #1526699 писал(а):

Под $X$ понимается $\mathbb N$?

Да.

Vladimir Pliassov в сообщении #1526699 писал(а):

Как множество всех его подмножеств $\mathcal{P}(\mathbb N)$ может заменить множество всех бесконечных последовательностей нулей и единиц?

Множеству $Y \subseteq \mathbb N$ сопоставляется последовательность $y$, определенная как

$$y(n) = \begin{cases} 1,\ n \in Y\\ 0,\ n \notin Y \end{cases}$$

Сможете выписать обратное преобразование - какое множество сопоставляется последовательности?

Vladimir Pliassov в сообщении #1526699 писал(а):

Вообще, разве последовательность повторяющихся элементов может считаться множеством (то есть в данном случае подмножеством множества $\mathbb N$)?

Последовательность, по определению, это функция (а функция это множество, но из довольно странных элементов). Само по себе подмножество натуральных чисел последовательностью не является, но подмножества некоторого множества естественно сопоставляются функциям из этого множества в $\{0, 1\}$.

Вообще, если в рассуждении, приведенном Nemiroff, вместо $\mathcal P(\mathbb N)$ брать множество последовательностей (между ними есть естественная биекция), то оно повторяет рассуждение, приведенное мной выше.

[Odysseus]

Vladimir Pliassov Давайте попробую так:

1) Сначала немного дешевой философии общих рассуждений. Как это обычно бывает, какой-то метод рассуждений понимаешь намного лучше, когда находишь его проявления в других ситуациях и осознаешь, что это все разные тени одного и того же общего принципа. Это позволяет подняться над тенями (e.g. $3+2=2+3$) и посмотреть на то, что происходит в более общем случае (e.g. $a+b=b+a$). А значит лучше это понять, или хотя бы лучше привыкнуть, что уже немало.

2) Так и здесь. Сравнение "множества бесконечных последовательностей нулей и единиц" (aka множеста всех вещественных чисел) со счетным множеством (aka множеством всех натуральных чисел) это просто пример проявления некоего более общего принципа и приема рассуждений.

И в этом более общем виде, речь идет о том, что множество всех подмножеств любого множества имеет мощность большую, чем исходное множество. Когда в итоге понимаешь логику рассуждений лежащую в основе этого общего принципа, то конкретный случай вещественных чисел становится одним из банальных частных примеров.

Ограничивать свое понимание общего принципа подобным частным случаем это примерно как учить правила гармонии и взаимодействия фигур в шахматах только на примере Испанской партии. Да, там они тоже будут проявляться, но их логика и общие принципы выходят далеко за пределы оной.

Но как это тоже обычно бывает, общие законы, хотя в будущем и позволяют понять все намного лучше и "чище", сначала могут быть понятнее на более простых примерах.

С вещественными числами просто так случилось, что это один из частных случаев множества всех подмножеств некоего множества (а именно, множества натуральных чисел - это, кстати, вам понятно?). И исторически это самый важный пример применения "диагонального метода" Кантора.

Но они не есть самый простой пример с которого стоит начинать понимание некоего общего принципа, который лежит в основе. Проще будет начать с более обозримых примеров. Пусть сначала это будет конечное множество. Более того, состоящее всего из одного элемента (формально, начальным примером было бы пустое множество, но пока этот пример отложим). Вы понимаете почему оно не будет биективно множеству всех его подмножеств?

[epros]

Vladimir Pliassov в сообщении #1526674 писал(а):

epros в сообщении #1526651 писал(а):

Об этом же свидетельствуют Ваши сомнения в существовании бесконечности, которые мне вполне понятны.

Я не то чтобы сомневаюсь в существовании бесконечности, но пока что (как тот древний грек, о котором я писал выше) принимаю ее проявление только как обстоятельство, что к любому натуральному числу можно прибавить единицу. Как это возможно, я не понимаю, но принимаю это как данность.

Ну почему же. Бесконечность - совершенно воображаемая сущность, придуманная математиками. Почему бы в её существовании и не усомниться?

Vladimir Pliassov в сообщении #1526674 писал(а):

epros в сообщении #1526651 писал(а):

я кажется догадываюсь почему Вам не нравится диагональное доказательство несчётности множества последовательностей нулей и единиц. Вероятно потому, что оно неконструктивно.

Цитата:

Википедия: Конструктивное доказательство — доказательство, в котором существование математического объекта доказывается путем прямого построения

то есть с предоставлением конкретного примера. Вы имеете в виду, что данном случае этим конкретным примером могла бы быть бесконечная матрица, но мы не можем ее предоставить?

"Прямое построение" в данном случае означает, что нужно предоставить формулы, определяющие последовательности, а также формулу, которая их все нумерует. Но классическое доказательство говорит не о формулах, а о последовательностях, независимо от того, можно ли их выразить формулами.

Vladimir Pliassov в сообщении #1526674 писал(а):

epros в сообщении #1526651 писал(а):

Любая конструктивно определённая последовательность определяется конечной формулой.

Но это ведь не исключает того, что конечная формула может оперировать бесконечными объектами, как, например, при сложении двух бесконечных последовательностей: $c_i=a_i+b_i$, -- когда каждый член суммарной последовательности равен сумме соответствующих членов последовательностей-слагаемых? (Это ведь конечная формула, несмотря на то, что $i$ может принимать бесконечное число значений?)

Это не есть "оперирование бесконечными объектами". При сложении двух последовательностей мы из двух конечных формул получаем одну конечную формулу. То, что у последовательности, определённой любой из этих формул, "нет конца" - это совершенно отдельный вопрос. Может быть он (конец) в каком-то смысле и есть. Например, в том смысле, что на вычислении какого-то члена у нас мозг переполнится. Это абсолютно никак не влияет на нашу способность получить из двух формул последовательностей формулу третьей последовательности.

Vladimir Pliassov в сообщении #1526674 писал(а):

Может быть, можно было бы найти конструктивное доказательство и для рассматриваемой теоремы?

Есть конструктивное доказательство того, что множество конструктивно определённых вещественных чисел конструктивно несчётно. В классическом анализе этому соответствует понятие "неперечислимости" множества, каковое не следует путать с классической несчётностью, ибо могут быть неперечислимые подмножества натуральных чисел.

Vladimir Pliassov в сообщении #1526674 писал(а):

То есть такое, когда бесконечность привлекается, так сказать, умеренно, как у того древнего грека, который не брал сразу всю бесконечность (не писал $n=\infty$), а только соглашался, что всегда можно добавить еще единицу, то есть доказать, что теорема справедлива для любого конечного $n$

В конструктивной логике этому соответствует доказательство существования такой бесконечности с двойным отрицанием ("не может не существовать"). Снятие двойного отрицания, которое автоматически подразумевается в классической логике, в конструктивной невозможно, потому что утверждение о существовании объекта требует предъявления его примера.

Vladimir Pliassov в сообщении #1526674 писал(а):

epros в сообщении #1526651 писал(а):

А когда мы принимаем диагональное доказательство, то исходим из предположения, что пронумерованы все последовательности ... (что бы это ни значило).

То есть (если имеются в виду все наши бесконечные последовательности) мы исходим из того, что $n=\infty$. Но тогда встает вопрос, что из себя представляет эта матрица, то есть квадратная ли она (в натуральную ли величину изваян ангел), и если квадратная, то теорема доказана, а если нет, то не доказана.

Единственное, что тут можно предложить, это принять как аксиому то, что она квадратная (вместе с тем, что ангел изваян в натуральную величину). Без такой аксиомы, по-моему, эту теорему диагональным методом не доказать.

Но если принять эту аксиому, то почему не принять контраксиому (что она не квадратная)?

Бессмысленно рассуждать о квадратности бесконечной матрицы, ибо квадрат - конечен. Ничего этого в доказательстве нет. Там просто демонстрируется способ построения последовательности, которой нет среди пронумерованных.

Кстати, конструктивное доказательство ровно такое же: Из предположения о существовании формулы $\varphi(i,j)$ следует, что последовательность $1-\varphi(n,n)$ не совпадает ни с одной из последовательностей $\psi_i(n)=\varphi(i,n)$ ни для какого фиксированного $i$. Значит формулы, нумерующей все формулы последовательностей, не существует.

[Vladimir Pliassov]

Odysseus в сообщении #1526706 писал(а):

Как это обычно бывает, какой-то метод рассуждений понимаешь намного лучше, когда находишь его проявления в других ситуациях и осознаешь, что это все разные тени одного и того же общего принципа.

Это мне очень понятно.

Odysseus в сообщении #1526706 писал(а):

2) Так и здесь. Сравнение "множества бесконечных последовательностей нулей и единиц" (aka множества всех вещественных чисел) со счетным множеством (aka множеством всех натуральных чисел) это просто пример проявления некоего более общего принципа и приема рассуждений.

И в этом более общем виде, речь идет о том, что множество всех подмножеств любого множества имеет мощность большую, чем исходное множество. Когда в итоге понимаешь логику рассуждений лежащую в основе этого общего принципа, то конкретный случай вещественных чисел становится одним из банальных частных примеров.

Я так и думал, но пока еще не разобрался как следует ни с частным примером, ни с общим принципом.

Odysseus в сообщении #1526706 писал(а):

один из частных случаев множества всех подмножеств некоего множества (а именно, множества натуральных чисел - это, кстати, вам понятно?

Когда я разбирал доказательство

Nemiroff в сообщении #1526677 писал(а):

Цитата:

$\eqno (0.1)$ Пусть $X$ --- произвольное множество, $\mathcal{P}(X)$ --- множество всех подмножеств $X$.
$\eqno (0.2)$ Пусть $f$ --- биекция $X$ на $\mathcal{P}(X)$. Требуется доказать или опровергнуть её существование.
$\eqno (1)$ Пусть $Y = \{ x \in X : x \not\in f(x) \} $.
$\eqno (2)$ $f$ --- биекция, потому $Y = f(y)$ для некоторого $y \in X$.
$\eqno (3)$ Если $y \in Y$, то $y \in f(y)$ и $y \not\in Y$.
$\eqno (4)$ Если $y \not\in Y$, то $y \not\in f(y)$ и $y \in Y$.
$\eqno (5)$ Противоречие --- $f$ не существует.

то сначала представлял именно конечное множество -- из десяти элементов -- и для этого множества сразу ясно, что этой биекции не может быть, потому что если мы возьмем для отображения хотя бы все одноэлементные подмножества, то для остальных подмножеств уже не останется элементов основного множества.

Odysseus в сообщении #1526706 писал(а):

Пусть сначала это будет конечное множество. Более того, состоящее всего из одного элемента ... Вы понимаете почему оно не будет биективно множеству всех его подмножеств?

Потому что в нем больше одного подмножества: оно само и пустое множество? Или можно усмотреть в нем еще какие-то подмножества? (Спрашиваю, чтобы быть уже совсем уверенным, что их нет)

Odysseus в сообщении #1526706 писал(а):

(формально, начальным примером было бы пустое множество, но пока этот пример отложим)

Здесь биекции нет по другой причине: подмножество, в которое можно было бы отобразить элемент, есть -- это само пустое множество (и это единственное подмножество пустого множества) -- но нет элемента, который можно было бы отобразить (а биекция это отображение элемента). Правильно?

(Нет ни одного элемента, и при этом есть подмножество.)

epros в сообщении #1526715 писал(а):

Ну почему же. Бесконечность - совершенно воображаемая сущность, придуманная математиками. Почему бы в её существовании и не усомниться?

Согласен с Вами, да я и сомневаюсь, потому что вообще склонен к агностицизму, но мой опыт пока что показывал, что к числу можно прибавить еще единицу, и я исхожу из этого.

Над остальными пунктами и остальными сообщениями еще думаю. Вопросов много.

[epros]

Vladimir Pliassov в сообщении #1526740 писал(а):

но мой опыт пока что показывал, что к числу можно прибавить еще единицу, и я исхожу из этого.

Возможность прибавить единицу - это часть аксиоматики арифметики, из которой самой по себе ещё не следует существования множества всех натуральных чисел.

[Vladimir Pliassov]

epros в сообщении #1526747 писал(а):

Возможность прибавить единицу - это часть аксиоматики арифметики, из которой самой по себе ещё не следует существования множества всех натуральных чисел.

Так, может быть, этого множества и нет, а есть только возможность взять насколько угодно большое число?

[Mikhail_K]

Vladimir Pliassov в сообщении #1526751 писал(а):

Так, может быть, этого множества и нет, а есть только возможность взять насколько угодно большое число?

Ну, множество натуральных чисел (как и любое другое математическое понятие) - это мысленная конструкция, объективно она не существует, только в нашем мышлении.

В математике, существование этого множества обычно принимается за аксиому. Опыт показывает, что теория множеств с такой аксиомой очень удобна, а теория множеств без такой аксиомы - очень неудобна.

[Vladimir Pliassov]

Mikhail_K в сообщении #1526756 писал(а):

Ну, множество натуральных чисел (как и любое другое математическое понятие) - это мысленная конструкция, объективно она не существует, только в нашем мышлении.

Но существует ли она в нашем мышлении? Может быть, говоря: "множество всех натуральных чисел", -- мы имеем в виду не бесконечное множество, а множество насколько угодно большого числа элементов, но всегда конечное?

Mikhail_K в сообщении #1526756 писал(а):

В математике, существование этого множества обычно принимается за аксиому. Опыт показывает, что теория множеств с такой аксиомой очень удобна, а теория множеств без такой аксиомы - очень неудобна.

И полагая, что принимаем за аксиому бесконечное множество, мы на самом деле принимаем за аксиому множество насколько угодно большого числа элементов, но всегда конечное?

Может быть, выражение "бесконечное множество" это условное выражения для понятия множества насколько угодно большого числа элементов?

Так же как "бесконечная последовательность" это условное выражение для понятия последовательности с насколько угодно большим числом членов (но всегда конечным)?

И так же как "бесконечно малая величина" это не в самом деле бесконечно малая (по модулю), то есть равная нулю, величина, а величина насколько угодно малая, но никогда не равная нулю?

mihaild в сообщении #1526701 писал(а):

вместо $\mathcal P(\mathbb N)$ брать множество последовательностей (между ними есть естественная биекция)

Пытаюсь это понять.

$\mathbb N\to \{0,1\}$ это общее обозначение для каждой из всех бесконечных последовательностей нулей и единиц?

$\mathbb N\to (\mathbb N\to \{0,1\})$ означает (в данном случае), что каждой из этих последовательностей присваивается номер?

Подмножеству $\{0,1\}$ (в данном случае) биективно соответствует не какая-то одна последовательность нулей и единиц, а множество всех бесконечных последовательностей нулей и единиц.

Так же и подмножеству $\{0,1, 2\}$ (в данном случае) биективно соответствует не какая-то одна последовательность нулей, единиц и двоек, а множество всех бесконечных последовательностей нулей, единиц и двоек.

Таким образом, я вижу биекцию между $\mathcal P(\mathbb N)$ и множеством всех множеств бесконечных последовательностей, но не между $\mathcal P(\mathbb N)$ и множеством всех бесконечных последовательностей (которое можно получить объединением множества всех множеств бесконечных последовательностей).

Если имеется в виду такое множество, то есть множество множеств, то это уже не то, но, вероятно, я неправильно понимаю?

[Mikhail_K]

Vladimir Pliassov в сообщении #1526763 писал(а):

И полагая, что принимаем за аксиому бесконечное множество, мы на самом деле принимаем за аксиому множество насколько угодно большого числа элементов, но всегда конечное?

Принимается за аксиому существование одного объекта (множества натуральных чисел), свойства которого можно изучать. В Вашей интерпретации, насколько я могу понять, объектов много - конечные множества с различным, сколь угодно большим, количеством элементов. В моём мышлении, во всяком случае, тут есть разница.

[mihaild]

Vladimir Pliassov в сообщении #1526763 писал(а):

$\mathbb N\to \{0,1\}$ это общее обозначение для каждой из всех бесконечных последовательностей нулей и единиц?

Вроде бы $\mathbb N \to \{0, 1\}$ само по себе не пишут, пишут $f: \mathbb N \to \{0, 1\}$ - эта запись означает, что $f$ - функция из натуральных чисел в $\{0, 1\}$, т.е. последовательность.

Vladimir Pliassov в сообщении #1526763 писал(а):

$\mathbb N\to (\mathbb N\to \{0,1\})$ означает (в данном случае), что каждой из этих последовательностей присваивается номер?

Запись $f: \mathbb N\to (\mathbb N\to \{0,1\})$ означает, что $f$ - функция из натуральных чисел в множество последовательностей. Т.е. последовательность последовательностей. Они могут повторяться, и не обязаны встречаться все.

Vladimir Pliassov в сообщении #1526763 писал(а):

Подмножеству $\{0,1\}$ (в данном случае) биективно соответствует не какая-то одна последовательность нулей и единиц, а множество всех бесконечных последовательностей нулей и единиц

Это вы что-то странное написали. Что вообще значит "подмножеству что-то биективно соответствует"?

Утверждение следующее: существует биекция между множеством всех подмножеств натуральных чисел, и множеством всех последовательностей из нулей и единиц. В одну сторону эту биекцию я выше выписал, сможете выписать в обратную сторону?

Vladimir Pliassov в сообщении #1526763 писал(а):

Таким образом, я вижу биекцию между $\mathcal P(\mathbb N)$ и множеством всех множеств бесконечных последовательностей

А вот такой биекции уже не существует. Множеств бесконечных последовательностей больше, чем подмножеств $\mathbb N$.