Соотношение Гейзенберга и нулевая неопределенность.

[physicsworks]

lel0lel в сообщении #1526262 писал(а):

Я считаю, что поскольку мы часто без особых оговорок пользуемся состояниями с определенным импульсом (волны де Бройля), хотя это математическая модель, то нет причин запрещать говорить о нулевой дисперсии хоть для оператора импульса, хоть для координаты.

если мы ведем разговор о соотношении неопределенностей, то оно имеет статистическую природу и не относится к одному конкретному измерению какой-либо наблюдаемой (распространенная ошибка на которую я указал выше). Кроме того, если говорить о квантовых частицах, то не следует их отождествлять ни с волнами де Бройля, ни с волновыми пакетами, которыми они не являются.

lel0lel в сообщении #1526262 писал(а):

А вообще, если вы для какой-нибудь частицы, например электрона, приготовите состояние с достаточно маленькой дисперсией координаты, то у вас будет большая вероятность рождения новых частиц, поскольку неопределенность импульса велика.

у квантового состояния нет дисперсии, это вы оговорились. А так да, о локализации квантовых частиц я уже писал когда-то давно другой теме (для ТС можно не думать о КТП, потому что для нерелятивистской КМ все то же самое):

physicsworks в сообщении #p1116517 писал(а):

С точки зрения КТП, попытка впихнуть невпихуемое, т.е. локализовать такие атрибуты релятивистской частицы как энергия, заряд и т.д. в конечный объем порядка куба компотновской длины волны, неизменно влечет за собой взаимодействия с другими полями с импульсом (и моментом) порядка обратной комптоновской длины, которые порождают "виртуальные" пары частиц и античастиц, которые в конечном счете не дают вам локализовать изначальную частицу. Принцип локализации в КТП реализует природу точечных взаимодействий, а не точечных частиц. В гамильтониане мы строим члены отвечающие за взаимодействие путем умножения полей в одной и той же точке пространства-времени. С этой точки зрения, бесструктурная природа элементарной частицы это не утверждения о возможности локализовать такие физический характеристики как энергия, заряд и т.д. в безразмерной точке (что, на самом деле, невозможно), а о том, как эта частицы взаимодействует с другими частицы (или сама с собой, в случае самодействия).

-- 15.07.2021, 16:09 --

Geen в сообщении #1526263 писал(а):

Вам же уже ответили во втором
ответе.

в духе авторого того поста замечу, что там есть большая неточность: профессор должен быть говорить об оснащенном гильбертовом пространстве, но забыл.

[lel0lel]

physicsworks в сообщении #1526282 писал(а):

если мы ведем разговор о соотношении неопределенностей, то оно имеет статистическую природу и не относится к одному конкретному измерению какой-либо наблюдаемой (распространенная ошибка на которую я указал выше)

Да, для измерения дисперсий потребуется ансамбль частиц. Прямое измерение наблюдаемой всегда даёт одно из возможных её значений с той точностью, которая достижима в эксперименте. Но что нам мешает рассмотреть ансамбль частиц с определённым импульсом, кроме того, что его не существует в природе, а если бы и существовал, то неизвестно где следовало бы ловить частицы для проведения измерений.

Кстати, не совсем согласен, что соотношение неопределенностей совсем не имеет отношения к одному измерению. Представим, что мы с абсолютной точностью одновременно измеряем две наблюдаемые, так вот соотношение неопределенностей говорит нам, что это возможно только для коммутирующих наблюдаемых. Иначе с помощью своих измерений мы приготовили бы ансамбль частиц и при этом дисперсии наблюдаемых были бы нулевые. А теперь представим, что мы приготовляем (проводим измерение) состояние, так что оно занимает некий объём в фазовом пространстве. Так вот это совместное измерение интервалов координаты и импульса никогда не сможет привести к нулевому объему.

physicsworks в сообщении #1526282 писал(а):

Кроме того, если говорить о квантовых частицах, то не следует их отождествлять ни с волнами де Бройля, ни с волновыми пакетами, которыми они не являются

Этого не понимаю. Почему не следует? Если более строго, то следует отождествлять со скалярным или фермионным полем, но разве решение уравнения Дирака для свободной частицы не содержит плоские волны? Как иначе в квантовой механике описывать чистое состояние частицы в координатном представлении?

[physicsworks]

lel0lel в сообщении #1526286 писал(а):

Но что нам мешает рассмотреть ансамбль частиц с определённым импульсом, кроме того, что его не существует в природе

вот именно, не существует в природе. А так рассматривайте сколько хотите  :-)

lel0lel в сообщении #1526286 писал(а):

Кстати, не совсем согласен, что соотношение неопределенностей совсем не имеет отношения к одному измерению.

здесь, увы, ничем не могу помочь, ибо СНГ невозможно операционно проверить одним измерением просто по определению.

lel0lel в сообщении #1526286 писал(а):

Этого не понимаю. Почему не следует?

потому что настоящие квантовые частицы таковыми не являются.

lel0lel в сообщении #1526286 писал(а):

Если более строго, то следует отождествлять со скалярным или фермионным полем

если хотите рассмотреть релятивистский случай, то с возбужденными состояниями квантовых полей. Но мы не о КТП здесь говорим, а об обычной нерелятивистской КМ.

lel0lel в сообщении #1526286 писал(а):

но разве решение уравнения Дирака для свободной частицы не содержит плоские волны?

не знаю как бы вам деликатно сказать, но в природе не существует ни строго плоских монохроматических волн, ни строго свободных частиц в КМ, ни строго невзаимодействующих квантовых полей, ни многих других идеализаций. Это, конечно, не отменяет того факта, что такими идеализациями удобно пользоваться в некоторых ситуациях, в том числе в качестве "нулевого приближения", но делать это нужно осторожно.

[lel0lel]

physicsworks в сообщении #1526288 писал(а):

ибо СНГ невозможно операционно проверить одним измерением просто по определению.

Проверить нельзя, но некоторые аспекты одного совместного измерения оно описывает.

physicsworks в сообщении #1526288 писал(а):

не существует ни строго плоских монохроматических волн, ни строго свободных частиц в КМ, ни строго невзаимодействующих квантовых полей, ни многих других идеализаций

Так вы ранее и волновые пакеты забраковали, в таком случае вообще непонятно с чем работать классической КМ и с чем отождествлять частицы.

Ладно, это спор из разряда в интернете кто-то не прав -- каждый видит картину так как ему удобно.

[physicsworks]

lel0lel в сообщении #1526289 писал(а):

Проверить нельзя, но некоторые аспекты
одного совместного измерения оно описывает.

для меня загдка что вы здесь хотели сказать. Что именно понимается под СНГ и как его интерпретировать операционно я написал выше.

lel0lel в сообщении #1526289 писал(а):

Так вы ранее и волновые пакеты забраковали, в таком
случае вообще непонятно с чем работать классической КМ и с чем отождествлять частицы.

ничего я не забраковал, просто не нужно подменять понятия. Квантовые частицы --- не волны де Бройля и не волновые пакеты. Формализм нерелятивистской КМ четко определяет что под ними понимается, как они описываются и как предсказания КМ сравниваются с экспериментом. Часто общефизовские курсы квантов не дают людям четкого понимания и освоения этого формализма, но это уже другой вопрос, нужно просто не останавливаться на общефизе.

[physicsworks]

Ну, и чтобы у ТС не возникало никаких иллюзий по поводу СНГ, замечу, что само соотношение не говорит ничего о том: 1) насколько точно можно по отдельности измерить координату и сопряженный импульс; 2) насколько точно можно измерить координату и сопряженный импульс "одновременно"; 3) насколько точное измерение одной наблюдаемой "влияет" на определение другой. Последнее непонимание, кстати, было у самого Гейзенберга, которого поправил Бор.

[lel0lel]

physicsworks в сообщении #1526297 писал(а):

2) насколько точно можно измерить координату и сопряженный импульс "одновременно";

Смотря что здесь понимать под "одновременно". Если любое "одновременно" это почти одновременно, как хлопки в ладоши детей по команде, то да. Но если "одновременно" абсолютное, то нет. Хотя бы можно посмотреть тут wiki

[realeugene]

physicsworks в сообщении #1526297 писал(а):

2) насколько точно можно измерить координату и сопряженный импульс "одновременно"; 3) насколько точное измерение одной наблюдаемой "влияет" на определение другой. Последнее непонимание, кстати, было у самого Гейзенберга, которого поправил Бор.

Вот это, кстати, непонятно. А если мы первое измерение над частицей, например, координаты, специально проводим грубо, а последующее измерение импульса вылетевшей из координатной установки частицы - точно, разве, соотношение неопределённости не даёт нам минимально достижимое соотношение между погрешностью измерения координаты и дисперсией импульса?

Направляем издалека плоский поток частиц на щель и смотрим дифракционную картину на экране на некотором отдалении от щели - классика же вроде бы.

[Red_Herring]

В рамках классической неряливистской квантовой механики минимум достигается (неравенство становится равенством) на $Ce^{-k(x-a)^2/2 - ibx } $ с $k>0$, $a,b$ вещественными и только на них.

[realeugene]

Да, для достижения минимума распределение по координате должно выходить гауссовым. Прямоугольная щель не позволит достичь минимума. Она как иллюстрация. А гауссова шапочка имеет бесконечные хоть и очень быстро убывающие хвосты. По этой причине строгое равенство в эксперименте недостижимо.

[sergey zhukov]

physicsworks
Имеет ли отношение к СНГ такая ситуация.
В классической термодинамике вещество представляется непрерывным, а температура - скалярной функцией координат и времени, которая имеет совершенно точное значение для каждой пространственно-временной точки.

В статистической термодинамике вещество представляется дискретными частицами, а температура - некоторой усредненной величиной либо по большому числу частиц за короткое время (высокое температурное разрешение по времени, низкое - по пространству), либо по малому числу частиц в течении длительного времени (низкое температурное разрешение по времени, высокое - по пространству).

Т.е. согласно статистической термодинамике температуру нельзя измерить одновременно с высоким временным и пространственным разрешением. Не потому, что у нас что-то не так с измерительными приборами, а потому, что понятие температуры всегда было статистическим и никогда не было скалярной функцией координат и времени.

[realeugene]

sergey zhukov в сообщении #1526314 писал(а):

Т.е. согласно статистической термодинамике температуру нельзя измерить одновременно с высоким временным и пространственным разрешением. Не потому, что у нас что-то не так с измерительными приборами, а потому, что понятие температуры всегда было статистическим и никогда не было скалярной функцией координат и времени.

В квантах всё ещё хуже. Координата и импульс частицы, конечно, сами по себе не определены и описываются только некоторыми распределениями в виде волновых функцией. Но, кроме этого, координатное и импульсное представления волновой функции частицы однозначно связаны между собой преобразованием Фурье. А для преобразования Фурье существует чисто математическая теорема, что чем уже прообраз тем шире образ (если неформально).

-- 16.07.2021, 14:14 --

(Оффтоп)

sergey zhukov в сообщении #1526314 писал(а):

СНГ

Долго думал над сокращением, потом перечитал название темы.

-- 16.07.2021, 14:31 --

physicsworks в сообщении #1526282 писал(а):

если мы ведем разговор о соотношении неопределенностей, то оно имеет статистическую природу

А вот это утверждение, кстати, неверно. Преобразование Фурье производится над волновой функцией частицы с учётом фазы, а не просто над вероятностным распределением в статистической смеси. То есть в философском плане оно не более "статистическое" чем сама волновая функция частицы.

Впрочем, действительно, это соотношение для произведения средних двух наблюдаемых, но как сконструировать одну наблюдаемую для проверки соотношения не понятно.

[amon]

Пожалуй, встряну. IMHO, надо от­личать две вещи: собственно соотношения неопределенностей (СН) и способы их экспериментальной проверки. Так вот, что касается собственно СН, для них речь идет именно об одновременном измерении. Пара формул. Будем следовать Вейлю в изложении Киселева, что бы было на кого все свалить если что (B. B. Киселев. Кв. Мех. 2009, стр. 32-34). Пусть есть операторы $\hat{A}$ и $\hat{B}$, такие что

$$[\hat{A}(t),\hat{B}(t)]=i\hbar \hat{C}(t)$$

Обращаю внимание на то, что если мы работаем в представлении Гайзенберга, то это одновременный коммутатор. Далее стан­дартным образом вводим операторы с нулевым средним: $\hat{a}(t)=\hat{A}(t)-\bar{A}(t),\,\hat{b}(t)=\hat{B}(t)-\bar{B}(t),$ строим Вейлевскую функцию

$$|\Phi(t)\rangle=(\hat{a}(t)-i\xi\hat{b}(t))|\Psi\rangle$$

и из $\langle\Phi(t)|\Phi(t)\rangle\ge0$ получаем

$$\xi^2(\Delta B(t))^2+\hbar\xi\langle C(t)\rangle+(\Delta A(t))^2\ge 0$$

т. e. в СН стоят одновременные сред­ние, и это соотношение утверждает, что одновременные дисперсии

$$\Delta A(t)\Delta B(t)\ge \frac{1}{2}|\langle[\hat{A}(t),\hat{B}(t)]\rangle|$$

т. e. что измерение величин $A$ и $B$ надо производить одновременно.

С другой стороны, реально произвести такое измерение чрезвычайно трудно. Поэтому для реальной проверки СН используется процедура, описанная physicsworks, в которой предполагается, что сис­тема находится в стационар­ном состоянии. В этом случае одновременность не важна.

[Emergency]

amon
Помнится, Эйнштейн пытался отрицать фундаментальность СНГ и предложил свой способ сделать это - ЭПР-парадокс, опровергнутый Беллом.
Там импульс и координата измерялись не одновременно.

[lpssll]

Хочу поблагодарить всех участников за развернутые ответы, это действительно помогло немного лучше понять смысл, спасибо!