Поведение функций и их лаплас-образов в нуле и бесконечности

[ssamokhodkin]

Привет. Есть утверждение, которое вроде бы интуитивно очевидно, но хотелось бы его корректно сформулировать и доказать, или найти готовые формулировку и доказательство.
Утверждение: при некоторых ограничениях на функции $f(x)$ и $g(x)$ (которые я не могу сформулировать), условие

$$g = C f + o(f), x \to 0$$

эквивалентно условию

$$G = C F + o(F), s \to \infty$$

где $C$ - константа, $f,g$ - функции, $F,G$ - их лаплас-образы.

Другими словами, если функции $g$ и $f$ ведут себя одинаково в окрестности нуля, то их образы ведут себя одинаково в окрестности бесконечности.
Также верно утверждение, в котором ноль и бесконечность поменяли местами.

Пример. Возьмем функции $f(x)=x$ и $g(x)=e^{x} - 1$. В окрестности нуля они ведут себя одинаково, как $x$. Их образы $F(s)=\frac{1}{s^2}$ и $G(s)=\frac{1}{s(s-1)}$ ведут себя одинаково в бесконечности, как $\frac{1}{s^2}$.

Прикладное значение такого соотношения очевидно. Если мы имеем какой-то сложный лаплас-образ (полученный из ДУ), для которого нельзя посчитать оригинал, мы по крайней мере можем получить асимтотические выражения для оригинала.
Мне, например, это прямо сейчас нужно для статьи. Результат получен, но я его не могу обосновать. Возможно, это какая-то известная теорема, но я не математик, так что извините.

[Pphantom]

Тема перемещена из форума «Математика (общие вопросы)» в форум «Карантин»
по следующим причинам:

- наберите отдельные обозначения так же, как формулы (краткие инструкции: «Краткий FAQ по тегу [math]» и видеоролик Как записывать формулы) для ликвидации видимого разнобоя в обозначениях.

Исправьте все Ваши ошибки и сообщите об этом в теме Сообщение в карантине исправлено.
Настоятельно рекомендуется ознакомиться с темами Что такое карантин и что нужно делать, чтобы там оказаться и Правила научного форума.

[Pphantom]

Тема перемещена из форума «Карантин» в форум «Математика (общие вопросы)»

[alisa-lebovski]

Может быть, тауберовы теоремы?

[Padawan]

https://en.m.wikipedia.org/wiki/Hardy%E2%80%93Littlewood_tauberian_theorem(раздел integral formulation)

[ssamokhodkin]

alisa-lebovski в сообщении #1525235 писал(а):

Может быть, тауберовы теоремы?

Padawan в сообщении #1525240 писал(а):

https://en.m.wikipedia.org/wiki/Hardy%E2%80%93Littlewood_tauberian_theorem(раздел integral formulation)

Похоже, это то что нужно. К сожалению не вижу кнопки "Спасибо", так что примите на словах :)