Индуктивность катушки из двух секций

[vanger]

В задачнике Сивухина есть следующая задача:

Цитата:

402. Однослойная достаточно длинная катушка с железным сердечником разделена на две секции (рис. 112). Измерения индуктивностей секций дали следующие ререзультаты: в первой секции $L_1 = 0,04 \; \text{Г}$, во второй сексекции $L_2 = 0,09 \; \text{Г}$. 1) Чему равна индуктивность катушки? 2) Сколько витков N в катушке, если в первой секции 100 витков?

Ответ на первый вопрос, совпадающий с ответом, есть $(\sqrt{L_1} + \sqrt{L_2})^2$, и может быть получен из следующих соображений.

Магнитное поле в длинной катушке пропорционально числу витков. Поэтому полный поток через катушку пропорционален квадрату числа витков. Так что индуктивности секций относятся как квадраты числа витков

$$ \frac{L_2}{L_1} = \left( \frac{N_2}{N_1} \right)^2. $$

Так как магнитное поле вдоль всей катушки постоянно, то потоки через секции проворциональны числу витков в них:

$$ \frac{\Phi_2}{\Phi_1} = \frac{N_2}{N_1}. $$

Откуда

$$ \Phi_2 = \Phi_1 \frac{N_2}{N_1} = I L_1 \frac{N_2}{N_1}. $$

Подставляя сюда отношение из первого уравнения, получаем $\Phi_2 = I \sqrt{L_1 L_2}$, что интерпретируем как то, что коэффициент взаимной индукции есть $L_{12} = \sqrt{L_1 L_2}$. Поэтому общий поток есть

$$ \Phi = \Phi_1 + \Phi_2 = (I L_{21} + I L_1) + (I L_{12} + I L_2) = I (\sqrt{L_1} + \sqrt{L_2})^2. $$

Откуда получаем искомое $L = (\sqrt{L_1} + \sqrt{L_2})^2$.


$\bullet$ Это рассуждение является подгонкой под ответ, и я не понимаю, как оно сочетается со следующими рассуждениями. Так как катушка достаточно длинная, чтобы можно было считать магнитное поле внутри неё постоянным по всей длине, то, казалось бы, полный магнитный поток есть

$$ \Phi = I L = (N_1 + N_2) B S, $$

А потоки через каждую секцию

$$ \Phi_1 = I L_1 = N_1 B S, \qquad \Phi_2 = I L_2 = N_2 B S. $$

Откуда получаем $\Phi = \Phi_1 + \Phi_2$, так что $L = L_1 + L_2$ и никакой взаимной индукции. Что, в принципе, ожидаемо: для предела бесконечно длинных секций, относительный вклад явлений на стыках, что и даёт вклад во взаимную индукцию, стремится к нулю.


$\bullet$ Иной способ засомневаться в первом рассуждении -- заметить, что магнитное поле в длинной катушке пропорционально не просто числу витков, а числу витков на единицу длины. Так что

$$L_i \propto \frac{N_i^2}{l_i}$$

,
где $l_i$ -- длина соответствующей секции. То, что теперь задача не решается, так как отношение длин секций неизвестно, -- это полбеды. Хуже то, что повторяя те же рассуждения, приходим к

$$ \Phi_2 = \Phi_1 \frac{N_2}{N_1} = I \sqrt{L_1 L_2} \sqrt{\frac{l_2}{l_1}}, $$

то есть коэффициенты взаимной индукции не симметричны относительно замены $1 \leftrightarrow 2$, что противоречит теореме взаимности.


Каково же правильное рассуждение, и как именно ломаются рассуждения выше?

[EUgeneUS]

1. В задаче Сивухина ключевой момент - это наличие сердечника.
Он обеспечивает то, что при добавлении витка, например, с краю, поток через любой другой виток увеличивается (почти) в точности на поток через добавленный виток. Что и приводит к квадратичной зависимости индуктивности от числа витков.

2. Рассматривая длинный соленоид, у которого индуктичность линейно зависит от числа витков, легко прийти к выводу, что добавление витка с краю (почти) никак не влияет на поток, через удаленные от него витки. Это Ваш третий вариант.
В этом варианте, теорема взаимности не ломается. Просто коэффициент связи между секциями равен нулю. По сути - это последовательное соединение катушек, магнитные поля которых не влияют на "соседа".

3. В Вашем втором варианте, имхо, возникает путаница между потоком и потокосцеплением.

-- 21.06.2021, 07:58 --

vanger в сообщении #1523644 писал(а):

Магнитное поле в длинной катушке пропорционально числу витков.

Кстати, это далеко не всегда так.
Возьмем бесконечно длинный соленоид (куда уж длиннее ).
Поле в нём пропорционально не числу витков, а плотности намотки (количеству витков на метр).

[vanger]

EUgeneUS в сообщении #1523651 писал(а):

1. В задаче Сивухина ключевой момент - это наличие сердечника.
Он обеспечивает то, что при добавлении витка, например, с краю, поток через любой другой виток увеличивается (почти) в точности на поток через добавленный виток. Что и приводит к квадратичной зависимости индуктивности от числа витков.

Можете расписать подробней, как именно влияет наличие сердечника? Пока совсем не понимаю. Есть ли ссылка на стандартную учебную литературу? В Сивухине и Савельеве не нашёл (может, плохо смотрел).

Я могу наивно объяснить это в случае очень короткой катушки: тогда действительно поток через новый виток почти такой же как через старые. Но как это сочетается с тем, что в условии катушка "достаточно длинная"? В чём вообще проявляется "достаточно длинность"?

EUgeneUS в сообщении #1523651 писал(а):

2. Рассматривая длинный соленоид, у которого индуктичность линейно зависит от числа витков, легко прийти к выводу, что добавление витка с краю (почти) никак не влияет на поток, через удаленные от него витки. Это Ваш третий вариант.
В этом варианте, теорема взаимности не ломается. Просто коэффициент связи между секциями равен нулю. По сути - это последовательное соединение катушек, магнитные поля которых не влияют на "соседа".

Да, это моё второе рассуждение, про две очень длиных секции.

EUgeneUS в сообщении #1523651 писал(а):

Возьмем бесконечно длинный соленоид (куда уж длиннее ).
Поле в нём пропорционально не числу витков, а плотности намотки (количеству витков на метр).

Ну да. Про это написано в конце. И именно в этом проблема, так как плотность намотки зависит от длины, длины разные, противоречие со взаимностью.

[Theoristos]

vanger в сообщении #1523663 писал(а):

Можете расписать подробней, как именно влияет наличие сердечника? Пока совсем не понимаю. Есть ли ссылка на стандартную учебную литературу? В Сивухине и Савельеве не нашёл (может, плохо смотрел).

Тем, что поток в таком случае можно считать замкнутым и проходящим только через сердечник.

В результате, уравнения потоков для такой фиговины становятся очень похожи на закон Ома для замкнутой цепи. С ампер-витками вместо напряжения и магн. проницаемостью умноженной на площадь сечения и деленной на длину средней лини вместо проводимости цепи. И прочими радостями вроде аналога второго закона Киргофа (сохранении суммарного потока на разветвлении сердечника)

[vanger]

Theoristos в сообщении #1523664 писал(а):

Тем, что поток в таком случае можно считать замкнутым и проходящим только через сердечник.

Можно где-то посмотреть вывод или хотя бы рукомахательную аргументацию? Желательно в рамках общего курса, типа Сивухина.

[EUgeneUS]

vanger
Разместите картинку к задаче, для наглядности, пожалуйста.

[vanger]

Рисунок к задаче.

[svv]

Простое следствие того, что было сказано в ответах, но я хочу произнести это явно:
И в результате при наличии ферромагнитного сердечника Вам в формулу для индуктивности надо в качестве длины $\ell$ подставлять не длину секции, а длину сердечника, одну и ту же во всех трёх случаях (когда работает только первая секция, когда только вторая, когда обе секции).

[EUgeneUS]

vanger
0. "Рукомахательная аргументация".
Силовые линии магнитной индукции "концентрируются" в сердечнике.
Поэтому магнитный поток через любое сечение сердечника одинаковый.
Пусть один виток создаёт поток $\Phi_1$, тогда полный поток через любое сечение сердечника будет равен $\Phi_\Sigma = N \Phi_1$, это будет суммарным потоком через один виток.
Тогда потокосцепление $\Psi = N \Phi_\Sigma = N^2 \Phi_1$
Откуда индуктивность катушки $L \sim N^2$

1. Менее рукомахательная аргументация следует из исследования магнитных цепей, как указывал уважаемый Theoristos.
Однако, оттуда же будет следовать, что подобная аргументация годится только для замкнутых магнитопроводов.

2. Расчет цилиндрической катушки вообще говоря задача весьма непростая. Общая формула для довольно длинных однослойных катушек без сердечника такова:

$L= \mu_0 K N^2 S /l$,
где $K$ - коэффициент Нагаоки, куда спрятана вся сложность, для длинных катушек, он примерно равен $1$.
$S$ площадь сечения оправки,
$l$ - длина намотки.
Так как в задаче плотность намотки одинакова для всех трёх катушек, что можно переписать так (сразу положим $K = 1$):
$L = \mu_0 N S n$,
где $n$ - плотность намотки, витков на метр. Насколько знаю, эта формула имеется в общем курсе физики (выводится из рассмотрения поля в длинной катушке, как поля в бесконечном соленоиде).

Здесь мы видим, что $L \sim N$

3. А что будет, если вставить, в катушку ферритовый стержень (а не замкнутый магнитопровод!). Всё становится ещё более сложно. Можно заглянуть к инженерам, которые делают калькулятор для расчета. Сюда.

В общем виде, $L = \mu_e K L_{\text{air}}$, где
$\mu_e$ - эффективная магнитная проницаемость стержня (со сложными поправками).
$K$ - некий коэффициент, который учитывает положение катушки на стержне.
$L_{\text{air}}$ - индуктивность катушки без сердечника.

Интересно, что более-менее правильный алгоритм расчета поправочных коэффициентов авторы калькулятора нашли только с третьего раза.

-- 21.06.2021, 16:49 --

Как резюме.

1. Задача с приложенным рисунком - из разряда "Ну, Вы, барин, задачи ставите". Там все непросто. Скорее, более близко к реальному ответу будет считать, что индуктивность зависит линейно от количества витков. Но это даст заниженное значение.

2. Если стержень заменить замкнутым магнитопроводом, то задача становиться тривиальной (ответ будет, как приведен в задачнике).

-- 21.06.2021, 17:13 --

svv в сообщении #1523689 писал(а):

И в результате при наличии ферромагнитного сердечника Вам в формулу для индуктивности надо в качестве длины $\ell$ подставлять не длину секции, а длину сердечника, одну и ту же во всех трёх случаях (когда работает только первая секция, когда только вторая, когда обе секции)

Выглядит весьма обосновано. Но, на первый взгляд, слабо согласуется с инженерными формулами (см. ссылку выше).

[Theoristos]

vanger в сообщении #1523674 писал(а):

Можно где-то посмотреть вывод или хотя бы рукомахательную аргументацию? Желательно в рамках общего курса, типа Сивухина.

Это известная "резистивная модель". Вот, на английской Вики чуток: https://en.wikipedia.org/wiki/Magnetic_ ... ance_model
Аргументация - магнитное поле вне сердечника ~ в $\mu$ раз слабее, чем в нём. Итого потоком вне сердечника можно пренебречь.

ps: EUgeneUS уже выше подробно тему раскрыл.
pps: а "задача с рисунком" реально труднорешаемая из-за краевых эффектов при отсутствии сердечника. Имхо, учитывая красивые квадратичные значения индуктивности - Сивухин тут схалтурил. Или не он, а иллюстратор.
ppps: как представил воздушный соленоид на 0.09 Гн... Если присмотреться, та точка после "Рис" - случаем не ростовая фигура автора задачи?

[EUgeneUS]

Theoristos в сообщении #1523706 писал(а):

ppps: как представил воздушный соленоид с 0.09 Гн... Вместо цифры 1 впору для масштаба подставлять ростовую фигуру автора задачи.

А почему воздушный? В тексте про железный сердечник.

[Theoristos]

А на рисунке вроде как картонная трубка с дырой.

Если есть сердечник... все равно слово "достаточно длинная" тревожит. Такое даже в Maxwell-е, численно, с хорошей точностью не особо решается.

[EUgeneUS]

Theoristos в сообщении #1523708 писал(а):

А на рисунке вроде как картонная трубка с дырой.

Ага, рисунок веселый.

Theoristos в сообщении #1523708 писал(а):

Такое даже в Maxwell-е, численно, с хорошей точностью не особо решается.

Будет время, погоняю в Coil32 (в он-лайне). Интересно, зависимость от количества витков будет ближе к квадратичной или линейной..

Аргумет уважаемого svv выглядит весьма сильным.

[Theoristos]

Для "достаточно длинного", по идее - квадратичной.
Силовые линии где-то дальше будут в конце концов выходить из сердечника и замыкаться по воздуху, большим радиусом.
Когда размер такого безобразия будет велик по сравнению с размером обмотки - будет квадратично.
В этом деле главное - весь ли поток проходит через каждый виток.

Кстати вот пакостно-олимпиадная задача - рассчитать зависимость величины магнитного потока в бесконечном сердечнике проницаемостью $mu$ от расстояния до локальной обмотки.

[vanger]

Theoristos в сообщении #1523706 писал(а):

Аргументация - магнитное поле вне сердечника ~ в $\mu$ раз слабее, чем в нём. Итого потоком вне сердечника можно пренебречь.

Но ведь нам нужно, вроде, утверждение не зависящее от этого: что магнитное поле, создаваемое одним витком примерно трансляционно инвариантно вдоль катушки.

EUgeneUS в сообщении #1523690 писал(а):

"Рукомахательная аргументация".
Силовые линии магнитной индукции "концентрируются" в сердечнике.
Поэтому магнитный поток через любое сечение сердечника одинаковый.

Это слишком рукомахательная :) По сути, переформулирование вопроса в виде ответа :)

EUgeneUS в сообщении #1523690 писал(а):

Менее рукомахательная аргументация следует из исследования магнитных цепей, как указывал уважаемый Theoristos.
Однако, оттуда же будет следовать, что подобная аргументация годится только для замкнутых магнитопроводов.

А это апелляция к некоторой выходящей за пределы общефизического образования теории и/или экспериментальному факту? Верно ли я понимаю, что, по сути, "мат. ожидание" ответов -- что эту задачу из задачника Сивухина внятно решить, опираясь лишь на, собственно, курс Сивухина, невозможно?

EUgeneUS в сообщении #1523690 писал(а):

Расчет цилиндрической катушки вообще говоря задача весьма непростая. Общая формула для довольно длинных однослойных катушек без сердечника такова:

$L= \mu_0 K N^2 S /l$,
где $K$ - коэффициент Нагаоки, куда спрятана вся сложность, для длинных катушек, он примерно равен $1$.

В этом случае мы приходим к противоречию, указанному в конце первого сообщения.