Доказать сходимость несобственного интеграла

[hfrte]

Добрый день! Помогите, пожалуйста, доказать сходимость данного несобственного интеграла

$$\int_{-\frac{\pi}{4}}^{\frac{\pi}{4}} \frac{\left(\cos\left(x\right)-\sin\left(x\right)\right)^{\frac{1}{3}}}{\left(\cos\left(x\right)+\sin\left(x\right)\right)^{\frac{1}{3}}}$$

. Пробовала использовать признак Абеля-Дирихле, т.к. числитель - ограниченная и монотонная на данном отрезке функция, в таком случае всё сводится к доказательству сходимости интеграла

$$\int_{-\frac{\pi}{4}}^{\frac{\pi}{4}} \frac{1}{\left(\cos\left(x\right)+\sin\left(x\right)\right)^{\frac{1}{3}}}$$

, но с этим так же возникают проблемы

[nnosipov]

hfrte в сообщении #1523444 писал(а):

но с этим так же возникают проблемы

Выясните сначала, где у подынтегральной функции особенность на отрезке интегрирования.

[Otta]

hfrte в сообщении #1523444 писал(а):

. Пробовала использовать признак Абеля-Дирихле, т.к. числитель - ограниченная и монотонная на данном отрезке функция, в таком случае всё сводится к доказательству сходимости интеграла

Это совсем лишнее. Преобразуйте числитель и знаменатель к симпатичному виду - они преобразуются, косинус + синус можно свернуть, и теорема сравнения.

[hfrte]

nnosipov в сообщении #1523448 писал(а):

hfrte в сообщении #1523444 писал(а):

но с этим так же возникают проблемы

Выясните сначала, где у подынтегральной функции особенность на отрезке интегрирования.

Особенность в точке $-\dfrac{\pi}{4}$, знаменатель становится равным 0 и функция стремится к $+\infty$

[nnosipov]

Правильно. А теперь теорема сравнения (как посоветовали уже).

[alisa-lebovski]

hfrte в сообщении #1523453 писал(а):

и функция стремится к $+\infty$

Да, но вот интеграл от $x^{-1/3}$ в нуле же сходится.

[hfrte]

Всё получилось, спасибо большое вам всем!