2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки




 
 Доказать сходимость несобственного интеграла
Сообщение19.06.2021, 16:33 
Добрый день! Помогите, пожалуйста, доказать сходимость данного несобственного интеграла $$\int_{-\frac{\pi}{4}}^{\frac{\pi}{4}} \frac{\left(\cos\left(x\right)-\sin\left(x\right)\right)^{\frac{1}{3}}}{\left(\cos\left(x\right)+\sin\left(x\right)\right)^{\frac{1}{3}}}$$. Пробовала использовать признак Абеля-Дирихле, т.к. числитель - ограниченная и монотонная на данном отрезке функция, в таком случае всё сводится к доказательству сходимости интеграла $$\int_{-\frac{\pi}{4}}^{\frac{\pi}{4}} \frac{1}{\left(\cos\left(x\right)+\sin\left(x\right)\right)^{\frac{1}{3}}}$$, но с этим так же возникают проблемы :-(

 
 
 
 Re: Доказать сходимость несобственного интеграла
Сообщение19.06.2021, 16:43 
hfrte в сообщении #1523444 писал(а):
но с этим так же возникают проблемы
Выясните сначала, где у подынтегральной функции особенность на отрезке интегрирования.

 
 
 
 Re: Доказать сходимость несобственного интеграла
Сообщение19.06.2021, 16:44 
hfrte в сообщении #1523444 писал(а):
. Пробовала использовать признак Абеля-Дирихле, т.к. числитель - ограниченная и монотонная на данном отрезке функция, в таком случае всё сводится к доказательству сходимости интеграла

Это совсем лишнее. Преобразуйте числитель и знаменатель к симпатичному виду - они преобразуются, косинус + синус можно свернуть, и теорема сравнения.

 
 
 
 Re: Доказать сходимость несобственного интеграла
Сообщение19.06.2021, 16:57 
nnosipov в сообщении #1523448 писал(а):
hfrte в сообщении #1523444 писал(а):
но с этим так же возникают проблемы
Выясните сначала, где у подынтегральной функции особенность на отрезке интегрирования.

Особенность в точке $-\dfrac{\pi}{4}$, знаменатель становится равным 0 и функция стремится к $+\infty$

 
 
 
 Re: Доказать сходимость несобственного интеграла
Сообщение19.06.2021, 17:20 
Правильно. А теперь теорема сравнения (как посоветовали уже).

 
 
 
 Re: Доказать сходимость несобственного интеграла
Сообщение19.06.2021, 17:21 
Аватара пользователя
hfrte в сообщении #1523453 писал(а):
и функция стремится к $+\infty$
Да, но вот интеграл от $x^{-1/3}$ в нуле же сходится.

 
 
 
 Re: Доказать сходимость несобственного интеграла
Сообщение19.06.2021, 17:48 
Всё получилось, спасибо большое вам всем! :D

 
 
 [ Сообщений: 7 ] 


Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group