Распределение заряда в проводнике

[Kevsh]

Вот всё никак не могу понять, почему заряд скапливается на поверхности проводника. Везде читаю – сначала говорится про проводник в однородном поле, мол, возникает внутреннее поле, которое скомпенсирует внешнее, в итоге по теореме Остроградского-Гаусса внутри заряда не будет. А вот если просто шар в воздухе висит, я подал на него заряд $Q$, то, как я понял, заряд тоже скопится на поверхности. При этом никакого внешнего поля нет. Почему? Везде такое объяснение – из примера с проводником в поле мы выяснили, что $\overline E_{\text{внутр}} = 0$, следовательно по ТОГ заряда внутри нет. Но ведь это вообще другой случай.

[svv]

Рассмотрим проводник, свободные заряды которого находятся в статическом равновесии.
Допустим, в проводнике нашлась строго внутренняя область $\Gamma$ с ненулевым полным зарядом $Q$. Тогда по теореме Гаусса поток $\mathbf E$ через её границу $\partial\Gamma$
$\oint\limits_{\partial\Gamma}\mathbf E\cdot d\mathbf S=4\pi Q\neq 0$
Раз поток ненулевой, хоть где-то на $\partial\Gamma$ будет $\mathbf E\neq 0$. Тогда в силу $\mathbf j=\sigma\mathbf E$ внутри проводника будет движение свободных зарядов, что противоречит предположению об их статическом равновесии.

[diakin]

Потому что одноименные заряды отталкиваются и стремятся расположиться как можно дальше друг от друга. Это речь об избыточных зарядах, так-то тела электрически нейтральны.

[sergey zhukov]

Kevsh
Электронейтральное проводящее вещество - это для заряда почти то же самое, что вакуум. Если взять кусок такого вещества и поместить туда два (или сколько угодно) одноименных заряда, они будут отталкиваться друг от друга, как в пустоте, пока не натолкнутся на границу этого вещества. Вот труднее обьяснить, почему же они останавливаются на границе, а не вылетают из вещества наружу свободно.

[мат-ламер]

diakin в сообщении #1522587 писал(а):

Потому что одноименные заряды отталкиваются и стремятся расположиться как можно дальше друг от друга. Это речь об избыточных зарядах, так-то тела электрически нейтральны.

Это правильно, но это всего не объясняет. Рассмотрим шар. Отнюдь не очевидно, как из этого следует, что заряды должны расположиться именно на поверхности сферы. Им же там будет тесно.

Предлагаю рассмотреть задачу. Рассмотрим двумерный бесконечно тонкий круглый диск. Как на нём будут располагаться избыточные заряды?

[sergey zhukov]

мат-ламер
Выше уже было сказано, что если внутри проводящего материала находится в равновесии некоторая плотность электрического заряда, то на границе этой внутренней области где-то должно быть не нулевое электрическое поле, т.е заряды на границе этой внутренней области в месте существования этого поля не могут находится в равновесии. Поэтому заряды в толще проводящего материала могут находится в равновесии только на границе этой толщи, как бы тесно им там ни было, но не внутри объема толщи.

Задача про диск этому не противоречит. Она имеет известное решение. Заряды там тоже распределены по поверхности в стремлении максимально удалиться друг от друга. Просто у этого диска ничего, кроме поверхности, нет.

[realeugene]

Kevsh в сообщении #1522582 писал(а):

При этом никакого внешнего поля нет.

Это неверно. Когда вы рассматриваете поле в окрестности участка поверхности, вы должны учесть поле, создаваемое всеми другими локально нескомпенсированными зарядами в системе, в том числе, находямися на других участках поверхности, в том числе, находящимися на противоположной стороне металлического листа. Если их не учитывать, получится одинаковая по величине напряженность поля внутри и снаружи проводника, создаваемого тонким слоем заряда на этой поверхности. Но именно поле от всех остальных зарядов приводит к тому, что внутри проводника суммарное поле обнуляется, а снаружи - удваивается. Т. е. вблизи поверхности проводника вклад в поле от зарядов на участке поверхности равен вкладу от всех остальных зарядов. И этот вклад остальных зарядов и есть то самое "внешнее поле".

[мат-ламер]

sergey zhukov в сообщении #1522653 писал(а):

мат-ламер
Выше уже было сказано, что если внутри проводящего материала находится в равновесии некоторая плотность электрического заряда,

Спасибо, что вы отреагировали на моё замечание. Только я пока не пойму, какое имеет отношение ваш текст к моему тексту. Лично я не касался, что было сказано выше, а касался только замечания diakin о том, что заряды как-то стремятся расположиться. В бесконечно тонком диске заряды тоже как-то стремятся расположиться подальше друг от друга. Однако все на границу диска (окружность) не выходят.

sergey zhukov в сообщении #1522653 писал(а):

Задача про диск этому не противоречит. Она имеет известное решение.

Если вы встречали эту задачу где-то в курсах общей физики или задачниках, то поделитесь ссылочкой. если это вас не затруднит. Моё мнение, что поле внутри диска нулевое, а дивергенция его отнюдь не нулевая. Отсюда допускается возможность расположения зарядов по всей поверхности диска пропорционально этой дивергенции.

sergey zhukov в сообщении #1522653 писал(а):

Выше уже было сказано, что если внутри проводящего материала находится в равновесии некоторая плотность электрического заряда

Может вы это имели в виду:

svv в сообщении #1522585 писал(а):

Допустим, в проводнике нашлась строго внутренняя область $\Gamma$ с ненулевым полным зарядом $Q$

Так в диске строго внутренней области нет, поэтому и дивергенция может быть ненулевой, как я понимаю. Ваш текст пока не понял, но буду обдумывать.

[realeugene]

мат-ламер в сообщении #1522659 писал(а):

поле внутри диска нулевое, а дивергенция его отнюдь не нулевая

"Внутри" - это где?

-- 14.06.2021, 18:38 --

мат-ламер в сообщении #1522635 писал(а):

Им же там будет тесно.

Нет, конечно.

[мат-ламер]

realeugene в сообщении #1522660 писал(а):

"Внутри" - это где?

Внутренность двумерного диска (в данном случае, то есть в моём посту) - это весь диск, кроме ограничивающей его окружности. В некоторых текстах применяется термин "относительная внутренность". Но я не стал усложнять свой пост.

-- Пн июн 14, 2021 19:44:56 --

мат-ламер в сообщении #1522635 писал(а):

Им же там будет тесно.

realeugene в сообщении #1522660 писал(а):

Нет, конечно.

Почему "конечно"? Как по мне, это отнюдь нетривиальный факт. Да, на границе шара им не тесно, а на границе круга им вдруг становится тесновато.

[realeugene]

мат-ламер в сообщении #1522661 писал(а):

Внутренность двумерного диска (в данном случае, то есть в моём посту) - это весь диск, кроме ограничивающей его окружности. В некоторых текстах применяется термин "относительная внутренность". Но я не стал усложнять свой пост.

Бесконечно-тонкий диск - это лишь идеализация, получающаяся в ходе предельного перехода в рамках классической электродинамики к диску нулевой толщины. Во-первых, в физике бесконечно тонких дисков не бывает. Во-вторых, если рассматривать эту предельную задачу с чисто математической точки зрения, на двумерном диске напряженность поля разрывна, а значит, дивергенция существует только как обобщённая функция.

-- 14.06.2021, 19:08 --

мат-ламер в сообщении #1522661 писал(а):

Почему "конечно"? Как по мне, это отнюдь нетривиальный факт. Да, на границе шара им не тесно, а на границе круга им вдруг становится тесновато.

Какой вы берёте объём электрона?

Кроме этого, в рамках классической электродинамики заряды не квантуются. Вот то, что заряды квантуются - это, на самом деле, нетривиальный факт. Но в рамках классической электродинамики к нему и близко приближаться нельзя. Так что, считайте, что заряд - это бесконечно делимое варенье, намазанное на печенюшку.

[мат-ламер]

realeugene в сообщении #1522665 писал(а):

Какой вы берёте объём электрона?

Про объём электрона я не писал и не думал. Я исходил из идеализации, что у нас конечное число точечных зарядов. Конечно, в металле это далеко не так, но тем не менее такая идеализация вполне имеет право на жизнь. Рассмотрим энергию взаимодействия этих зарядов $E=\sum\limits_{i>j}|\vec{r_i}-\vec{r_j}|^{-1}$ . Если заряды группируются на поверхности шара, то в этой сумме рекордные значения отдельных членов будут гораздо больше, чем если бы заряды были равномерно размазаны по всему шару. Поэтому отнюдь не очевиден тот факт, что общая сумма будет в первом случае меньше.

realeugene в сообщении #1522665 писал(а):

Бесконечно-тонкий диск - это лишь идеализация,

По моему в нашем случае такая идеализация вполне законна и естественна.

[Emergency]

мат-ламер в сообщении #1522672 писал(а):

По моему в нашем случае такая идеализация вполне законна и естественна.

А зачем, если можно взять лист однослойного графена и посчитать его потенциал при хотя бы 10% лишних электронов. Лишние, в смысле на каждый атом углерода.

[realeugene]

мат-ламер в сообщении #1522672 писал(а):

о моему в нашем случае такая идеализация вполне законна и естественна.

Выбирайте: или конечное число дискретных точечных зарядов, или непрерывный заряд размазан по бесконечно тонкому диску. Одно из двух, модели в непосредственной близи от диска несовместимы.

С точечными зарядами всё плохо, конечно. Энергия электромагнитного поля точечного заряда бесконечна. Заряды должны постояннно летать, чтобы в среднем дать требуемое поле. Нужны кванты, в общем.

[мат-ламер]

realeugene в сообщении #1522680 писал(а):

Выбирайте: или конечное число дискретных точечных зарядов, или непрерывный заряд размазан по бесконечно тонкому диску. Одно из двух, модели в непосредственной близи от диска несовместимы.

Если вернуться к тому с чего начали, то там было две аргументации по поводу отсутствия зарядов внутри проводника. Первая аргументация diakin на счёт стремления точечных зарядов отталкиваться друг от друга. Она конечно полезна для понимания, только она не является доказательством (по моему скромному мнению). А вот аргументация svv вполне чётко обоснована. Хотя я ту же самую мысль выразил бы по другому. Поле внутри проводника нулевое (иначе там будут течь токи). А если в объёмном теле поле нулевое, то и его дивергенция нулевая. Значит и объёмное распределение зарядов нулевое.

Тут модель с непрерывным распределением зарядов вполне нормально всё объясняет. Однако модель с точечными зарядами, думаю, что тоже имеет право на жизнь, поскольку подходит для моделирования на компьютере. Однако точно утверждать тут ничего не берусь. Надо будет посмотреть.