Вычислить поток поля через цилиндрическую поверхность.

[Kevsh]

Задаю вопрос, потому что ну никак не сходится поток через цилиндр, когда считаю через формулу Остроградского-Гаусса и непосредственным интегрированием.

Условие:
Дано векторное поле $\overline F=(2x+y)\overline i+(xy-z)\overline j+(x^2+yz)\overline k$
Также дана поверхность:
$\left\{\begin{gathered} x^2+y^2=2 \hfill \\ z=0, z = 1\hfill \\ \end{gathered}\right.$
Нужно найти поток через поверхность.

Я посчитал поток через формулу Остроградского-Гаусса и получил $2\pi$

Далее начал считать всё непосредственным интегрированием, для этого нашел все векторы нормалей, нашел произведение поля и нормали, спроецировал на нужные плоскости.
1)$\overline n_1=-\overline k$ (нижнее основание)
2)$\overline n_3 = \overline k$ (верхнее основание)
3)Для боковой части всё сложнее. Сначала я нашел $\overline n(x,y,z) = 2x\overline i + 2y\overline j$ (через частные производные). Далее получил единичный вектор: $\overline n_2 =\frac{\overline n_2}{n_2}=\frac{x}{\sqrt{x^2+y^2}}\overline i + \frac{y}{\sqrt{x^2+y^2}}\overline j$.

Поток через верхнее основание:
$\iint\limits_{D_{xy}}(x^2+yz)dxdy = \iint\limits_{D_{xy}}(x^2+y)dxdy=\int_{-\sqrt 2}^{\sqrt 2}dx\int_{-\sqrt{2-x^2}}^{\sqrt{2-x^2}}(x^2 + y)dy=\pi$
Аналогично через нижнее основание поток у меня получился равным -\pi(там интеграл почти такой же, только z = 0, ну а пределы те же).
То есть получается, что верхний и нижний поток сократились, ну значит нужно, чтобы поток через боковую часть цилиндра был равен $2\pi$, чтобы всё сошлось с первым вариантом решения, но этого не происходит.
Поток через ближнюю к нам часть цилиндра (где x положительный, то есть $x=\sqrt{2-y^2}): \iint\limits_{D_{yz}}\frac{(2\sqrt{2-y^2}+y)\sqrt{2-y^2}+y(\sqrt{2-y^2}y-z)}{\sqrt 2}\cdot \sqrt{\frac{y^2}{2-y^2}+1}$, пределы интегрирования по x будут от $0$ до $1$, по $y$ от $-\sqrt 2$ до $\sqrt 2$. Я этот интеграл и сам решил, и в калькулятор вбил – ответ $2\pi +\frac{8}{3\sqrt 2}$. Далее находим поток через дальнюю часть ($x=-\sqrt{2-y^2}$). Там поток я считал аналогично и он равен $2\pi - \frac{8}{3\sqrt 2}$, то есть суммарный поток через боковую часть цилиндра будет $4\pi$, а не нужные нам $2\pi$.
Где может быть ошибка? Уже по 50 раз проверил, ничего найти не могу. Такое ощущение, что поток через верхнюю часть цилиндра всё-таки $-\pi$, тогда всё сойдётся, но ошибки не вижу. Ну либо я дурачок и через формула Остроградского-Гаусса неправильно решил, что маловероятно, там вроде всё просто.

[svv]

Kevsh в сообщении #1521843 писал(а):

Также дана плоскость: $x^2+y^2=2, z=0, z=1$

Это не плоскость, это цилиндр. Его ось совпадает с осью $Oz$, радиус равен $\sqrt 2$, высота равна $1$.

[Kevsh]

svv
Да, описался, уже исправил.

[svv]

У меня всё сошлось, правильный ответ $4\pi$.
Какая у Вас получилась $\operatorname{div}\mathbf F$ ?

[Kevsh]

svv
$\operatorname{div}\overline F=2+x+y$

[Pphantom]

Тема перемещена из форума «Помогите решить / разобраться (М)» в форум «Карантин»
по следующим причинам:

- неправильно набраны формулы (краткие инструкции: «Краткий FAQ по тегу [math]» и видеоролик Как записывать формулы).

Исправьте все Ваши ошибки и сообщите об этом в теме Сообщение в карантине исправлено.
Настоятельно рекомендуется ознакомиться с темами Что такое карантин и что нужно делать, чтобы там оказаться и Правила научного форума.

[Lia]

Kevsh в сообщении #1521843 писал(а):

Также дана поверхность: x^2+y^2=2, z=0, z=1

Еще: уточните формулировку в этой части, пожалуйста. Это не поверхность.
Когда хотят записать полную поверхность цилиндра, пишут иначе. Когда говорят о боковой поверхности цилиндра, тоже пишут иначе. Приведите так, как в задаче.