Курант-ЧТМ. Теория чисел. Доказательство деление на 11

[user2k20]

Здравствуйте, читаю Куранта, не понял доказательство деления на число 11 (стр.59-60)
Способом c выделением $ (a -b + c - d) $ на конце понял, а это нет.

$10 {\equiv} -1 (\mod11) $
$10^2{\equiv}b(-1)(-1) = 1 $ $(\mod11)$
$10^3{\equiv}b(-1) = 1$ $(\mod11)$

$z = a_{0} + a_{1}10 + a_{2}10^2 + ... + a_{n}10^n$
"дает тот же остаток при делении на 11, что и сумма его цифр, взятая с
чередующимися знаками:"
$t = a_{0} -a_{1} + a_{2} - ...$
Как пришли к такому сокращению?
Получается суммы произведений поделили на 11 и заменили в них второй множитель остатками 1, -1 ?

В начале упоминается $10 {ab\equiv}a'b' $ мультипликативный закон, из него все это проистекает?

Потом
$z -t = a_{1}11 + a_{2}(10^2 - 1) + a_{3}(10^3 +1) + a_{4}(10^4 - 1) +...$
далее "так как все выражения $(10^2 - 1), (10^2 + 1)$ сравнимы с нулем по модулю 11,
то z - t также сравнимо с нулем, и потому z при делении на 11 дает тот же остаток, что и t"
тут получается все делится без остатка и в итогe$z - t == 0$ ? и откуда следует, что остатки z равны t?

[Pphantom]

Тема перемещена из форума «Помогите решить / разобраться (М)» в форум «Карантин»
по следующим причинам:

- неправильно набраны формулы (краткие инструкции: «Краткий FAQ по тегу [math]» и видеоролик Как записывать формулы);
- приведите текст к виду, допускающему его понимание кем-либо, кроме автора.

Исправьте все Ваши ошибки и сообщите об этом в теме Сообщение в карантине исправлено.
Настоятельно рекомендуется ознакомиться с темами Что такое карантин и что нужно делать, чтобы там оказаться и Правила научного форума.