Средняя скорость на половине пути

[misha.physics]

Здравствуйте. Интересно, можно ли решить задачу проще (оптимизировать решение). У меня получается громоздко, требуется анализ по ходу решения и введения многих обозначений.

Задача: Тело две трети времени движется со скоростью $v_1=40$, а остальное время со скоростью $v_2=20$ (всё единицы измерения в SI). Найти среднюю скорость на второй половине пути.

Я решаю так. Пусть $s$ весь путь, $t$ все время движения, $t_1=\displaystyle\frac{2}{3}t$, $t_2=\displaystyle\frac{1}{3}t$, тогда средняя скорость на всем пути равна $v_c=\displaystyle\frac{s}{t}=\frac{v_1t_1+v_2t_2}{t}=\frac{1}{3}(2v_1+v_2)=100/3\approx33,3$. За время $t_1$ тело проходит путь $v_1t_1=\displaystyle\frac{2}{3}v_1t=\frac{2}{3}v_1\frac{s}{v_c}$, а это (если подставить $v_1$, $v_2$, $v_c$) выходит $\displaystyle\frac{8}{10}s$, то есть больше половины пути, следовательно на второй половине пути тело сначала движется со скоростью $v_1$, а потом со скоростью $v_2$. Средняя скорость на второй половине пути $v_{c2}=\displaystyle\frac{s/2}{t^*}$, где $t^*$ время движения на второй половине пути, оно равно $t^*=t-t'$, где $t'$ время движения тела со скоростью $v_1$ на первой половине пути, то есть $t'=\displaystyle\frac{s/2}{v_1}$. Тогда $t^*=t-\displaystyle\frac{s/2}{v_1}$. Учитывая $t=\displaystyle\frac{s}{v_c}$, получаем $v_{c2}=\displaystyle\frac{s/2}{\displaystyle\frac{s}{v_c}-\frac{s/2}{v_1}}=\frac{v_1v_c}{2v_1-v_c}=200/7\approx28,6$.

[Otta]

Что на первой половине пути скорость 40, и так очевидно, без вычислений.
Общий путь $s=\frac{100}{3}t$. Тогда время, которое тело движется со скоростью 40 $t_1=\frac{2s}{100}$, со скоростью 20 -- $t_2=\frac{s}{100}$.
Время, затраченное на первую половину пути равно $t'=\frac{s}{80}$. Участок во второй половине пути со скоростью 40 будет пройден за $t_{12}=t_1-t'$. Средняя скорость там ${} = \dfrac{s/2}{t_2+t_{12}}=\dfrac{200}{7}$.

[sergey zhukov]

Графически можно изобразить:

[nnosipov]

Интересно, почему такие задачи относят к физике? Наверное, из-за этого:

misha.physics в сообщении #1520586 писал(а):

всё единицы измерения в SI

[misha.physics]

Otta, спасибо, понял, идейно схоже с моим решением.
sergey zhukov, спасибо понял, наглядно, особенно, в силу того, что $v_1=2v_2$.
nnosipov, я даже не задумывался, чтобы разместить эту тему в математике. На мой взгляд, это, по-умолчанию, физическая задача, хотя и математическая часть здесь довольно существенна.

Вообще, под

misha.physics в сообщении #1520586 писал(а):

Интересно, можно ли решить задачу проще (оптимизировать решение).

я подразумевал решение в общем виде, чтобы не нужно было думать, будет на второй половине пути тело двигаться только со скоростью $v_2$ или и с $v_1$ и с $v_2$. Типа, пусть на протяжении $t_1=\alpha t$ тело движется со скоростью $v_1$, а на протяжении $t_2=(1-\alpha)t$ со скоростью $v_2$. Найти среднюю скорость на пути $s_1=\beta s$ и $s_2=(1-\beta)s$, где $\alpha,\beta\in[0,1]$ (ну или, возможно, $\alpha,\beta\in(0,1)$ и $\alpha,\beta\neq0.5$ (если, возможно, в этих случаях будет деление на нуль и тому подобное)). Здесь $\alpha$ и $\beta$ независимы, конечно, то есть, например, $s_1$ это не обязательно есть путь который тело проходит за $t_1$. Ещё подумаю над этим на досуге.

[sergey zhukov]

misha.physics
Если бы скорость от времени была задана одной гладкой функцией, то такое выражение можно было-бы написать, т.к. оно тоже было бы гладким. Если же скорость от времени задана выражением типа: если меньше, то..., а если больше, то..., в таком случае в решение задачи обязательно войдет такое же условие. Нужно будет считать по разному в зависимости от результата неравенства. Одной формулы не получится, потому что формула средней скорости тоже должна будет иметь излом.

[misha.physics]

sergey zhukov, точно, понял, спасибо. Я что-то раньше думал, что можно попытаться симметризовать конечный ответ относительно $v_1$ и $v_2$.

[wrest]

sergey zhukov в сообщении #1520844 писал(а):

Одной формулы не получится, потому что формула средней скорости тоже должна будет иметь излом.

Или всякие функции типа функции Хевисайда (или модули, $\sgn$ и т.п.), и это будет не очень интересно с точки зрения собсно счета, хотя формула будет одна общая.

[Лукомор]

misha.physics в сообщении #1520819 писал(а):

Здесь $\alpha$ и $\beta$ независимы,

...поэтому средние скорости на участках пути $s_1=\beta s$ и $s_2=(1-\beta)s$
зависят от $\beta$, но не зависят от $\alpha$...

[misha.physics]

Лукомор в сообщении #1520913 писал(а):

...поэтому средние скорости на участках пути $s_1=\beta s$ и $s_2=(1-\beta)s$
зависят от $\beta$, но не зависят от $\alpha$...

Должны зависеть при фиксированном $\beta$ также и от $\alpha$, ведь от него зависит, за какое время тело пройдет пути $s_1=\beta s$ и $s_2=(1-\beta)s$. Контрпример: пусть в стартовой задаче разбиение времени другое. Понятно, что от этого будет зависеть средняя скорость на второй половине пути.

[Лукомор]

misha.physics в сообщении #1520924 писал(а):

Понятно, что от этого будет зависеть средняя скорость на второй половине пути.

Я несколько не это имел в виду.
Вот смотрите.

Рассмотрим сначала простой случай движения с двумя скоростями:
со скоростью $v_1$ на протяжении $t_1 = \alpha t$
и со скоростью $v_2$ на протяжении $t_2 = (1 - \alpha t)$.
и будем искать среднюю скорость на всем пути $S$.
Понятно, что средняя скорость зависит от $\alpha$.
Мы можем найти часть пути $S_1 = \gamma S$,
которую тело пройдет за время $t_1 = \alpha t$
и часть пути $S_2 = (1 - \gamma) S$,
которую тело пройдет за время $t_2 = (1 - \alpha t)$.
Эта $\gamma$ будет зависеть от $\alpha$.

Теперь произвольно выберем $\beta$.
Выбранная ранее $\alpha$ не изменяется далее в этой задаче.
И вот теперь мы можем отбросить начальный участок пути
$S_0 = \beta S$, который тело пройдет за время $t_0 = \frac{S_0}{v_1}$,
перенеся начало координат графика $S = f(t)$ из точки с координатами
(0;0) в точку с координатами $(t_0; S_0$).
Таким образом мы вернемся к задаче нахождения средней скорости на всем пути,
но при этом изменятся, в зависимости от выбранного коэффициента $\beta$,
и путь, который теперь станет равен $S - S_0$ и $\gamma$ и время $t - t_0$, и разбиение времени $t - t_0$ на два интервала :
$\delta (t - t_0)$ и $((1 - \delta) (t - t_0))$.
и все эти новые величины будут зависеть от нашего выбора коэффициента $\beta$.
Вот это я имел в виду, когда говорил, что средняя скорость зависит от $\beta$,
и не зависит от $\alpha$, то есть при фиксированной альфе.

[misha.physics]

Лукомор в сообщении #1521004 писал(а):

Теперь произвольно выберем $\beta$.
Выбранная ранее $\alpha$ не изменяется далее в этой задаче.
И вот теперь мы можем отбросить начальный участок пути
$S_0 = \beta S$, который тело пройдет за время $t_0 = \frac{S_0}{v_1}$,

Если мы сначала выбрали $\alpha$ и зафиксировали её, а теперь произвольно выбираем $\beta$, то как мы можем утверждать, что тело пройдет путь $S_0=\beta S$ за время $t_0=\displaystyle\frac{S_0}{v_1}$? Ведь это означает, что тело на пути $S_0$ движется только со скоростью $v_1$, но зафиксировав ранее $\alpha$, мы тем самым задали промежуток времени, на котором тело движется со скоростью $v_1$. Если мы теперь выберем $\beta$ произвольно (независимо от $\alpha$), то может случиться так, что на одной части пути $S_0=\beta S$ тело будет двигаться со скоростью $v_1$, а на другой $-$ со скоростью $v_2$ и тогда $t_0$ не сможет равняться $\displaystyle\frac{S_0}{v_1}$.

[stalvoron]

Ну если изначально стояла задача упростить решение то почему бы не представить весь путь кратный $\frac{1}{6}$. Тогда вопрос задачи сведётся к поиску средней скорости на 3 участках из которых один будет пройден со скоростью 40 , а 2 со скоростью 20 . И средняя скорость на второй половине будет вроде 26,7. Приблизительно.Нет?

[Лукомор]

misha.physics в сообщении #1521180 писал(а):

Если мы теперь выберем $\beta$ произвольно (независимо от $\alpha$), то может случиться так, что на одной части пути $S_0=\beta S$ тело будет двигаться со скоростью $v_1$, а на другой $-$ со скоростью $v_2$ и тогда $t_0$ не сможет равняться $\displaystyle\frac{S_0}{v_1}$.

А никто и не обещал, что до точки $S_0 = \beta S$ тело будет двигаться со скоростью $v_1$.
Возможно два варианта.

Либо $\beta < \gamma$, тогда тело движется со скоростью $v_1$ до точки $S_0 = \beta S$, и дальше с этой скоростью,
а после точки $S_1 = \gamma S$, со скоростью $v_2$.
Тогда мы выпиливаем участок пути до $S_0 = \beta S$, отсчитав ее от точки старта,
и переходим к более простой задаче нахождения средней скорости, считая что тело начало двигаться
из точки $S_0 = \beta S$.


Либо $\beta > \gamma$, и тогда мы можем отпилить участок пути $S_2 = (1 - \beta)S$, отсчитав его от точки финиша назад.
И снова возвращаемся к более простой задаче, где со старта тело движется до точки $S_1 = \gamma S$ со скоростью $v_1$,
и от $S_1 = \gamma S$ до точки $S_2 =\beta S$ со скоростью $v_2$.

Оба этих варианта, таким образом, сводятся к задаче, в которой $\beta S = \gamma S$,
то-есть когда тело движется до точки $S = \gamma S$, со скоростью $v_1$, и от этой точки со скоростью $v_2$.
И нам нужно пересчитать условия задачи к этому случаю, потому что при удалении ненужной нам части пути изменятся
$S$, и $t$, а также $\alpha$, и $\beta$, и $\gamma$.
И эта $\gamma$, часть всего пути, которую тело пройдет со скоростью $v_1$, - самая важная величина для решения этой задачи.

Если у меня получится вставить картинку, там будет более понятно всё.

-- Пт июн 04, 2021 20:42:01 --



Ну, вроде как, получилось вставить картинку.
Вот Вам "дорожная карта" для решения этой задачи в общем виде.

Для простоты и удобства я сразу перенес начало координат в точку, где изменяется скорость движущегося тела.

Для начала решения, умело пользуясь альфой, мы строим красный прямоугольник, отложив соответствующие
$t_1 = \alpha t$, и $t_2 = (1 - \alpha)t$, влево и вправо от нуля по оси абсцисс.
Это будет ширина красного прямоугольника.

Вычислив по альфе - гамму, соответственно по оси ординат откладываем:
вниз $S_1 = \gamma _S$, вверх - $S_2 =(1 - \gamma)S$,
это будет высота красного прямоугольника.
Диагональ красного прямоугольника $AC$, покажет нам среднюю скорость на пути $S = S_1 + S_2$ за время $t = t_1 + t_2$.
(Диагональ я нарисовать забыл, но тангенс угла ее наклона к оси абсцисс
есть средняя скорость на пути $S$ за время $t$).

Теперь расчехляем бету, и находим $S_3 = \beta S$, а по известным $S_2$ и $S_3$ вычисляем $t_3$.
Наносим на карту красно - зеленый прямоугольник $A'B'CD'$.
Его диагональ $A'C$ (забыл нарисовать! ) даст искомую среднюю скорость
на участке $A'OC$.
$v_{cp} = \frac{S_2+S_3}{t_2+t_3}$.
Как-то так...

[Лукомор]

А вот картинка для $\beta > \gamma$:



Здесь также $\alpha = \frac{1}{2}$,
откуда $\gamma = \frac{2}{3}$.
А вот $\beta$ здесь уже не $\frac{1}{2}$, а $\frac{5}{6}$.
Поэтому средняя скорость внутри красно-зеленого прямоугольника будет равна
$v_{cp} = \frac{S_1 + S_3 }{t_1 + t_3}$