Степень минимального полинома и не только.

[Alexey Rodionov]

В $n$ -мерном, скажем, комплексном векторном пространстве задан оператор $T$.
В списке его степеней $(T^0, \dots , T^n)$ найдем $m$ т.ч. список
$L = (T^0, \dots , T^{m-1})$ линейно независим, а $T^m \in span(L) = V $.
Вот это $m$ и есть степень минимального полинома. Все степени выше $m$ также лежат в $V$.
Таким образом, появляются монические аннулирующие полиномы степеней больших $m$ ,
причем они однозначно определяются минимальным.
Полином степени $k$ имеет вид $T^k + v$, где $v \in V$.
Не знаете, что еще о нем (них) можно сказать?

[nnosipov]

Alexey Rodionov в сообщении #1520211 писал(а):

Полином степени $k$ имеет вид $T^k + v$, где $v \in V$

Среди коэффициентов полинома есть векторы? Если мы говорим о полиномах, аннулирующих данный оператор, то их коэффициенты суть скаляры (из того поля, над которым задано векторное пространство $V$).

Alexey Rodionov в сообщении #1520211 писал(а):

Не знаете, что еще о нем (них) можно сказать?

Вопрос непонятен.

[Alexey Rodionov]

Нет векторов среди коэффициентов. Есть пресловутое векторное пространство, скажем, $X$ и пространство операторов над ним $LL(X)$. $T \in LL(X)$ . Список $L$ линейно независим в $LL(X)$. $V = span(L)$.

-- 27.05.2021, 19:43 --

Вопрос непонятен.

Это своеобразные полиномы. Скажем, характеристический полином не определяется минимальным однозначно, а эти определяются. Мне кажется интересной такая особенность. Возможно, кто-то что-то про такие полиномы знает и мне расскажет.

-- 27.05.2021, 20:02 --

Вот что действительно скверно сказано:

Полином степени $ k $ имеет вид $T^k + v $ , где $ v \in V$.

Правильно:

Полином степени $ k $ имеет вид $ P(t) = t^k + Q(t) $ , где $ deg(Q) \le m-1 $.

[nnosipov]

Alexey Rodionov в сообщении #1520211 писал(а):

Полином степени $k$ имеет вид $T^k + v$, где $v \in V$.

Да, действительно, $v$ это линейная комбинация степеней $T$.

Alexey Rodionov в сообщении #1520224 писал(а):

Правильно:

Полином степени $ k $ имеет вид $ P(t) = t^k + Q(t) $ , где $ deg(Q) \le m-1 $.

То есть, Вы хотите знать, какие полиномы $P(t)$ указанного вида будут аннулировать $T$? Фактически речь идет о вычислении $x^k \bmod{f(t)}$ для любого $k \geqslant m$, где $f(t)$ --- минимальный многочлен, $m=\deg{f(t)}$.

[Alexey Rodionov]

Вы хотите знать, какие полиномы $P(t)$ указанного вида будут аннулировать $T$?

В случае конкретного минимального полинома это не трудно. Я хочу знать: изучались ли такие полиномы и что о них известно.

[svv]

Alexey Rodionov
Чтобы правильно (а также красиво, солидно, читабельно и удобно для других участников) оформить цитату, выделите нужный фрагмент сообщения собеседника и нажмите кнопку «Вставка».

[nnosipov]

Alexey Rodionov в сообщении #1520234 писал(а):

Я хочу знать: изучались ли такие полиномы и что о них известно.

В такой общей постановке это все равно что изучать произвольные линейные рекурренции $m$-го порядка с постоянными коэффициентами (например). Над конечным полем скаляров $\mathbb{F}_q$ последовательность $x^k \bmod{f(t)}$ будет периодической (при условии $f(0) \neq 0$). Длина периода называется порядком многочлена $f(t)$. Многочлены максимального порядка, равного $q^m-1$, называются примитивными многочленами. Построение примитивных многочленов данной степени над данным конечным полем представляет собой содержательную задачу.

[Alexey Rodionov]

Спасибо. Напомнило анекдот про медведя от Ивасей.

[nnosipov]

Alexey Rodionov в сообщении #1520239 писал(а):

Напомнило анекдот про медведя от Ивасей.

А что не так?

[Alexey Rodionov]

Все в порядке. Спасибо большое. Если анекдота не видели - взгляните. Иващенко его хорошо рассказывает.

[svv]

Alexey Rodionov в сообщении #1520211 писал(а):

Таким образом, появляются монические аннулирующие полиномы степеней больших $m$ ,
причем они однозначно определяются минимальным.
Полином степени $k$ имеет вид $T^k + v$, где $v \in V$.

Alexey Rodionov в сообщении #1520224 писал(а):

Это своеобразные полиномы. Скажем, характеристический полином не определяется минимальным однозначно, а эти определяются.

Можно уточнить на всякий случай, Вы же тут не утверждаете, что для каждого $k>m$ существует единственный монический аннулирующий полином степени $k$?

[Alexey Rodionov]

Отнюдь. Более того, я готов пройти пальценосовую пробу.

svv в сообщении #1520261 писал(а):

Таким образом, появляются монические аннулирующие полиномы степеней больших $m$ ,
причем они однозначно определяются минимальным.
Полином степени $k$ имеет вид $T^k + v$, где $v \in V$.

Это исправлено ниже.

[svv]

Alexey Rodionov в сообщении #1520265 писал(а):

я готов пройти

Спасибо, это лишнее.

[Slav-27]

Аннулирующие многочлены -- это кратные минимального многочлена. (И любой многочлен -- минимальный для некоторого оператора.) Поэтому операторы вроде бы вообще не по делу, ваш вопрос про многочлены.

[Alexey Rodionov]

Slav-27 в сообщении #1520277 писал(а):

Поэтому операторы вроде бы вообще не по делу,

До сих пор

Alexey Rodionov в сообщении #1520211 писал(а):

В $n$ -мерном, скажем, комплексном векторном пространстве задан оператор $T$.
В списке его степеней $(T^0, \dots , T^n)$ найдем $m$ т.ч. список
$L = (T^0, \dots , T^{m-1})$ линейно независим, а $T^m \in span(L) = V $.
Вот это $m$ и есть степень минимального полинома.

точно про операторы, а дальше еще можно посмотреть, но боюсь, что Вы правы.