Степень минимального полинома и не только.

[Slav-27]

То есть ваш вопрос можно истолковать так: есть многочлен $t^m+a_{m-1}t^{m-1}+...+a_0$ (с неопределёнными коэффициентами), на какой многочлен от $t$ его надо умножить, чтобы получилось $t^{m+k}+(\text{члены степени}\leqslant m-1)$?

Очевидно, на $t^k-a_{m-1}t^{k-1}+(a_{m-1}^2-a_{m-2})t^{k-2}+(-a_{m-1}^3+2a_{m-1}a_{m-2}-a_{m-3})t^{k-2}+...$, дальше вы можете посчитать сами...