2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки




Начать новую тему Ответить на тему
 
 Несобственный интеграл
Сообщение26.05.2021, 18:55 


16/03/11
844
No comments
Вычислить интеграл $$\int_0^{1} \frac{\ln(1-x+x^2)}{x-x^2}\,{\rm d}x. $$

 Профиль  
                  
 
 Posted automatically
Сообщение26.05.2021, 19:26 
Заслуженный участник


09/05/12
25179
 i  Тема перемещена из форума «Олимпиадные задачи (М)» в форум «Карантин»
по следующим причинам:

- отсутствуют собственные содержательные попытки решения задачи.

Исправьте все Ваши ошибки и сообщите об этом в теме Сообщение в карантине исправлено.
Настоятельно рекомендуется ознакомиться с темами Что такое карантин и что нужно делать, чтобы там оказаться и Правила научного форума.

 Профиль  
                  
 
 Posted automatically
Сообщение27.05.2021, 13:15 
Заслуженный участник


09/05/12
25179
 i  Тема перемещена из форума «Карантин» в форум «Олимпиадные задачи (М)» Все в порядке.

 Профиль  
                  
 
 Re: Несобственный интеграл
Сообщение27.05.2021, 14:03 
Заслуженный участник


20/12/10
9062
Кстати, Maple, если его слегка пнуть, вычисляет этот интеграл. Умный, собака.

 Профиль  
                  
 
 Re: Несобственный интеграл
Сообщение27.05.2021, 16:45 


02/04/18
240
Ну, можно разложить сначала на сумму дробей, увидеть, что интегралы от них равны, а потом взять по частям и получить:
$2\int_0^1\frac{\ln{(1-x+x^2)}}{x}dx-2\int_0^1\ln{x}\frac{2x-1}{x^2-x+1}dx$

А второе есть в Рыжике (пункт 4.233).

 Профиль  
                  
 
 Re: Несобственный интеграл
Сообщение27.05.2021, 17:41 
Заслуженный участник


20/12/10
9062
Dendr в сообщении #1520212 писал(а):
А второе есть в Рыжике (пункт 4.233).
Нет, Рыжик это тот же Maple. На самом деле все гораздо проще.
Dendr в сообщении #1520212 писал(а):
а потом взять по частям
Вот этого не нужно делать. А нужно домножить $1-x+x^2$ на $1+x$.

 Профиль  
                  
 
 Re: Несобственный интеграл
Сообщение27.05.2021, 21:21 


16/03/11
844
No comments
nnosipov в сообщении #1520218 писал(а):
Dendr в сообщении #1520212 писал(а):
А второе есть в Рыжике (пункт 4.233).
Нет, Рыжик это тот же Maple. На самом деле все гораздо проще.
Dendr в сообщении #1520212 писал(а):
а потом взять по частям
Вот этого не нужно делать. А нужно домножить $1-x+x^2$ на $1+x$.

Я так понял комбинация 2-х идей, разбить на два интеграла и домножение на $1+x$, решает задачу.

Мой подход заключался введением параметра $$I(b)=\int_0^{1} \frac{\ln(1-b(x-x^2))}{x-x^2}\,{\rm d}x, I(0)=0$$ Далее, взяв производную, получается не очень сложно.

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 7 ] 

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group