Несобственный интеграл

[DjD USB]

Вычислить интеграл

$$\int_0^{1} \frac{\ln(1-x+x^2)}{x-x^2}\,{\rm d}x. $$

[Pphantom]

Тема перемещена из форума «Олимпиадные задачи (М)» в форум «Карантин»
по следующим причинам:

- отсутствуют собственные содержательные попытки решения задачи.

Исправьте все Ваши ошибки и сообщите об этом в теме Сообщение в карантине исправлено.
Настоятельно рекомендуется ознакомиться с темами Что такое карантин и что нужно делать, чтобы там оказаться и Правила научного форума.

[Pphantom]

Тема перемещена из форума «Карантин» в форум «Олимпиадные задачи (М)» Все в порядке.

[nnosipov]

Кстати, Maple, если его слегка пнуть, вычисляет этот интеграл. Умный, собака.

[Dendr]

Ну, можно разложить сначала на сумму дробей, увидеть, что интегралы от них равны, а потом взять по частям и получить:
$2\int_0^1\frac{\ln{(1-x+x^2)}}{x}dx-2\int_0^1\ln{x}\frac{2x-1}{x^2-x+1}dx$

А второе есть в Рыжике (пункт 4.233).

[nnosipov]

Dendr в сообщении #1520212 писал(а):

А второе есть в Рыжике (пункт 4.233).

Нет, Рыжик это тот же Maple. На самом деле все гораздо проще.

Dendr в сообщении #1520212 писал(а):

а потом взять по частям

Вот этого не нужно делать. А нужно домножить $1-x+x^2$ на $1+x$.

[DjD USB]

nnosipov в сообщении #1520218 писал(а):

Dendr в сообщении #1520212 писал(а):

А второе есть в Рыжике (пункт 4.233).

Нет, Рыжик это тот же Maple. На самом деле все гораздо проще.

Dendr в сообщении #1520212 писал(а):

а потом взять по частям

Вот этого не нужно делать. А нужно домножить $1-x+x^2$ на $1+x$.

Я так понял комбинация 2-х идей, разбить на два интеграла и домножение на $1+x$, решает задачу.

Мой подход заключался введением параметра

$$I(b)=\int_0^{1} \frac{\ln(1-b(x-x^2))}{x-x^2}\,{\rm d}x, I(0)=0$$

Далее, взяв производную, получается не очень сложно.