Потенциальная яма и электронный газ.

[inevitablee]

Здравствуйте! Мне нужна помощь в решении двух следующих задач.
1) Условие: Частица находится в одномерной потенциальной яме шириной $L$. На волновую функцию частицы наложены следующие граничные условия: $\alpha_1\psi(0) + \beta_1\psi'(0) = 0$ и $\alpha_2\psi(L) + \beta_2\psi'(L) = 0$ (все константы вещественные). Считая, что ширины ямы стремится к бесконечности, найти объем $\Delta p_x$ одного квантового состояния в импульсном пространстве.
Для частицы в потенциальной яме легко выписать решение уравнения Шредингера: $\psi = C_1\exp(ikx) + C_2\exp(-ikx)$ (часть, не зависящая от времени). Подставим эту волновую функцию в граничные условия. Получим систему на константы и решим ее. А что дальше? Как отсюда добраться до объемов квантовых состояний? В случае обычного барьера с бесконечно высокими стенками ответ известен. Здесь должен получиться такой же ответ.
2) Условие второй задачи: Показать, что при температуре, много большей температуры вырождения ($kT >> E_F$, теплоемкость нерелятивистского электронного газа стремится к классическому пределу $c_V = \frac{3R}{2}$. Задачу нужно решить из классических соображений. Что под этим подразумевается? Просто использовать теорему о равнораспределении и решить задачу точно так же, как и для обычного идеального газа?

[Pphantom]

Тема перемещена из форума «Помогите решить / разобраться (Ф)» в форум «Карантин»
по следующим причинам:

- неинформативный заголовок;
- не набраны или неправильно набраны текст и формулы (краткие инструкции: «Краткий FAQ по тегу [math]» и видеоролик Как записывать формулы);
- отсутствуют собственные содержательные попытки решения задач.

Исправьте все Ваши ошибки и сообщите об этом в теме Сообщение в карантине исправлено.
Настоятельно рекомендуется ознакомиться с темами Что такое карантин и что нужно делать, чтобы там оказаться и Правила научного форума.

[Pphantom]

Тема перемещена из форума «Карантин» в форум «Помогите решить / разобраться (Ф)»

-- 15.05.2021, 22:49 --

inevitablee в сообщении #1518633 писал(а):

Просто использовать теорему о равнораспределении и решить задачу точно так же, как и для обычного идеального газа?

Зачем повторять уже известные результаты? Пожалуй, вполне достаточно показать, что:
1) в искомом пределе газ удовлетворяет статистике Больцмана;
2) конкретно для искомой величины взаимодействие между частицами несущественно.

[inevitablee]

Pphantom
А как это сделать? На что опираться? Как предельный случай статистики Ферми-Дирака? Но там ничего хорошего я не вижу при указанных значениях температур.

[Pphantom]

inevitablee в сообщении #1518664 писал(а):

А как это сделать? На что опираться?

Не скажу. На мой взгляд, это совершенно очевидно, а любая попытка объяснить фактически превратится в полное решение задачи.

[lel0lel]

1) $\Delta p_x=\sqrt{\langle \hat{p}_x^2\rangle-\langle \hat{p}_x\rangle^2}$
2) Вычислить в данном приближении статистическую сумму, то есть интеграл.

[inevitablee]

lel0lel
Если я правильно понял, что пункт 1) относится к первой задаче, а 2) ко второй, то:
1. Я не понимаю, откуда берется эта формула. Почему объем квантового состояния равен корню из дисперсии?
2. Для стат. суммы нужно знать $E_n$. Из каких соображений я могу ее получить?

[lel0lel]

inevitablee в сообщении #1518690 писал(а):

Почему объем квантового состояния равен корню из дисперсии?

Это, конечно, оценка объёма. Можно поступать более прямолинейно: найти волновые вектора $k_n$ как функции квантового числа $n$ (спектр получается из равенства нулю детерминанта системы на коэффициенты) и вычислить $\Delta k=k_{n+1}-k_n$.
В общем это похоже на квазиклассику, где объём одного квантовомеханического состояния в фазовом пространстве равен $2\pi \hbar$.

inevitablee в сообщении #1518690 писал(а):

Для стат. суммы нужно знать $E_n$. Из каких соображений я могу ее получить?

При больших температурах вы можете примерно вычислить статсумму с помощью интегрирования по фазовому пространству всех частиц. Для этого потребуется знать гамильтониан системы невзаимодействующих частиц и как раз объём, приходящийся на одно состояние в фазовом пространстве. Ещё нужно учесть тождественность частиц, поделить соответствующий интеграл на $ N! $. При больших температурах можете считать, что в каждом состоянии находится в среднем не больше одной частицы, то есть принцип запрета здесь не играет роли. Убедиться в этом можно рассмотрев распределение Ферми-Дирака при больших температурах, получится, что средние числа заполнения очень малы.

[inevitablee]

lel0lel
Из равенства нулю детерминанта системы на коэффициенты я получаю уравнение. В него входят синусы и косинусы от произведения $kL$, а также указанные вещественные коэффициенты, и отсюда непонятно, как получить спектр для k.

[lel0lel]

inevitablee
Это и есть уравнение на спектр, оно имеет бесконечный дискретный набор решений. Судя по всему, оно получается трансцендентное из-за граничных условий с производными. Но вам не нужно его точно решать, найдите приблизительно решения для больших значениях $k$ (в этом пределе уравнение должно упроститься), то есть для высоколежащих уровней.

Внимательнее посмотрю вечером, сейчас нет времени.

[lel0lel]

Не уверен, что актуально, но на всякий случай.
Уравнение имеет вид:
$(\alpha_2 \beta_1-\alpha_1\beta_2)k\cos (k L) =(\alpha_1\alpha_2+\beta_1 \beta_2 k^2)\sin (k L) $.
Пусть $\beta_1 \beta_2\ne 0$, тогда при больших $k$ приближённые решения это $k_n=\pi n/L$. Поскольку состояния это линейные комбинации двух плоских волн, распространяющихся вперёд и назад, то при изменении индекса $n$ на единичку в импульсном пространстве "проскакиваем" объём равный $\Delta V_p=2\hbar (k_{n+1}-k_n)=2\pi\hbar/L$. Отсюда следует, что в фазовом пространстве одно состояние занимает объём $\Delta V_p \Delta V_x=2\pi\hbar.$ Это пригодится во втором пункте.

Кстати, не совсем верно, что

lel0lel в сообщении #1518720 писал(а):

inevitablee в сообщении #1518690
писал(а):
Почему объем квантового состояния равен корню из дисперсии?
Это, конечно, оценка объёма.

Тут правильнее говорить про объём занимаемый первыми $n$ состояниями, а не про одно, и ещё нужно удвоить корень из дисперсии.