2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки




На страницу 1, 2  След.
 
 Cходимость по мере
Сообщение03.06.2008, 21:33 
Здравствуйте. Помогите, пожалуйста, построить последовательность функций $f_n(x)$, которая сходится к функции $f(x)$ по мере на $\mathbb R$ ($f_n(x) \to f(x)$ по мере), однако последовательность $e^{f_n(x)}$ не сходится к $e^{f(x)}$ по мере на $\mathbb R$?
Спасибо!

 
 
 
 
Сообщение03.06.2008, 21:40 
Аватара пользователя
Проверьте требуемое для последовательности \[
f_n (x) = x + \frac{1}{n}
\]

 
 
 
 
Сообщение03.06.2008, 21:53 
Brukvalub, cпасибо!

 
 
 
 
Сообщение04.06.2008, 16:45 
Хмм, посмотрел сейчас еще раз - не могли бы Вы пояснить, почему последовательность $e^{x+\frac 1 n}$ не сходится по мере к $e^{x}$? Ведь предельной функцией в данном случае будет ${e^{x}}$? Тогда получаем, что $\forall \varepsilon > 0 \lim\limits_{n \to \infty}\mu(x \in \mathbb R| e^{x}(e^{\frac 1 n}-1)>\varepsilon) =0$, т.к. множитель в скобках стремится к нулю при $n$, стремящемся к бесконечности.

 
 
 
 
Сообщение04.06.2008, 16:55 
просто потому, что интервал, задаваемый этим неравенством -- полубесконечен, и мера его бесконечна, и никак к нулю стремиться не может, увы

 
 
 
 
Сообщение04.06.2008, 17:07 
Аватара пользователя
Укажите явно вот это множество: (x \in \mathbb R| e^{x}(e^{\frac 1 n}-1)>\varepsilon), тогда все прояснится.

 
 
 
 
Сообщение04.06.2008, 17:14 
Почему-то мне казалось, что стоящее в скобках выражение в пределе дает нуль, поэтому множество точек, задаваемых этим неравенством - пустое множество, ибо утверждение $\forall \varepsilon>0$ $(e^{x}\cdot 0)>\varepsilon$ неверно.

 
 
 
 
Сообщение04.06.2008, 17:19 
Lister писал(а):
Почему-то мне казалось, что стоящее в скобках выражение в пределе дает нуль, поэтому множество точек, задаваемых этим неравенством - пустое множество, ибо утверждение $\forall \varepsilon>0$ $(e^{x}\cdot 0)>\varepsilon$ неверно.

чего-то мне кажется, что Вы перепутали предел меры и меру предела, но Вы, наверное, и сами это понимаете.

 
 
 
 
Сообщение04.06.2008, 17:24 
Аватара пользователя
Lister писал(а):
Почему-то мне казалось, что стоящее в скобках выражение в пределе дает нуль
Я же не спрашивал Вас про предел, если хотите что-либо понять, то ответьте именно на мой вопрос.

 
 
 
 
Сообщение04.06.2008, 18:07 
Похоже, я действительно перепутал предел меры и меру предела :oops:.
Brukvalub, вы имели ввиду явное выражение для $x$ при фиксированных $\varepsilon$ и $n$ -
$x > \ln \frac \varepsilon {e^{\frac 1 n} -1}$?

 
 
 
 
Сообщение04.06.2008, 20:43 
Да-да, вот что-то типа этого. А теперь осталось сообразить, чему же равна мера этого множества
$$\mu\left\{x\in\mathbb{R}:x > \ln \frac \varepsilon {e^{\frac 1 n} -1}\right\}=?(\varepsilon,n)$$

 
 
 
 
Сообщение04.06.2008, 21:16 
Я так понимаю, что мера просто равна бесконечности, т.к. сверху ограничения для $x$ нет.

 
 
 
 
Сообщение04.06.2008, 21:20 
Lister писал(а):
Я так понимаю, что мера просто равна бесконечности, т.к. сверху ограничения для $x$ нет.
Утверждение верно, но доказательства вы не предоставили. У множества натуральных чисел $\mathbb{N}$ мера нуль, хотя оно тоже неограничено сверху.

 
 
 
 
Сообщение04.06.2008, 21:34 
Ну ведь здесь $x$ принимает вещественные значения, значит, множество всех иксов несчетно и в любом случае его мера больше нуля, или требуется более строгое доказательство?

 
 
 
 
Сообщение04.06.2008, 21:39 
Аватара пользователя
Lister писал(а):
Ну ведь здесь $x$ принимает вещественные значения, значит, множество всех иксов несчетно и в любом случае его мера больше нуля, или требуется более строгое доказательство?
Требуется строже, много строже, безупречно строго, ведь Вы вышли не в башорг, а на Форум МЕХ-МАТА!!! :evil:

 
 
 [ Сообщений: 18 ]  На страницу 1, 2  След.


Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group