2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки




Начать новую тему Ответить на тему На страницу 1, 2  След.
 
 Исключение из теоремы Абеля
Сообщение19.04.2021, 00:10 


15/08/20
25
РЕШЕНИЕ УРАВНЕНИЙ ШЕСТОЙ И ПЯТОЙ СТЕПЕНИ

Подскажите, пожалуйста, есть ли в следующем методе решения степенных уравнений логические ошибки и (если нет таких) в каких задачах он может быть полезен?

Опишем метод решения в целых числах произвольного уравнения 2-й степени с двумя неизвестными (метод выделения полных квадратов по Лагранжу.
Общее уравнение 2-й степени с двумя неизвестным
$$au^2  + buv + cv^2 + du + ev + f = 0,\eqno (1)$$
может быть приведено к виду (2),
$$x^2 + Ay^2=B,\eqno (2)$$
где $$A=b^2-4ac\ne0,\eqno  (3)$$
$$B=(bd-2ae)^2-(b^2-4ac)(d^2-4af).$$
при этом $$x=(b^2-4ac)v+bd-2ae,\eqno  (4)$$
$$y=2au+bv+d.\eqno  (5)$$
Таким образом,любое решение $(u,v)$ уравнения (1) находится
по формулам:
$$u=-bx+(b^2-4ac)y-2a(be-2dc),2a(b^2-4ac),$$
$$v=x-bd+2ae,  b^2-4ac,$$
где $(x,y)$ - решения уравнения (2)."


Если в (2) взять $x=1-y\sqrt{A}$,то
$$y=-(B-1)/2\sqrt{A},  x=1+(B-1)/2,$$
найденные $x$ и $y$ подставить в (4) и (5),то получится (6):
$$(b^2-4ac)v+bd-2ae-1+(2au+bv+d)\sqrt{A}=0.\eqno (6)$$
Теперь, если в (1) и (6) взять $u = v^3$, то получается (7) и (8)
$$av^6+bv^4+cv^3+dv^2+ev+f=0, \eqno(7)$$
$$v^3+((b\sqrt{A}+b-4ac)/2a\sqrt{A})v+(d\sqrt{A}-1+bd-2ae)/2a\sqrt{A}=0.\eqno (8)$$
Очевидно,что некоторые корни (8) будут решениями и для (7).
Для того чтобы уравнение пятой степени (9) разлагалось на множители (10) необходимо чтобы выполнялось равенство (11):
$$x^5+Ax^3+Bx^2+Cx+D=0,\eqno(9)$$
$$(x^2+px+q)(x^3-px^2+mx+n)=0,\eqno(10)$$
$$D^2+(B^2)C=ABD.\eqno(11)$$
которое получается если перемножить сомножители в (10) и приравнять полученные коэффициенты с соответствующими
из (9).Это условие тождественно утверждению теоремы Абеля о том,что не всякое уравнение степени выше четвёртой может иметь корни.Для уравнения шестой степени соответствующее условие факторизации будет иметь вид:
$$x^6+Ax^4+Bx^3+Cx^2+Dx+E=0,$$
$$D^3+A(B^2)(D^2)+E(B^3)=(B^2)CD.$$

Например:
Уравнение
$$v^6-62v^4+72v^3-817v^2-2088v+1260=0,\eqno (12)$$
из (8) $$p=-28,  -34;                q=-51,   868;$$
$$v^3-28v-51=0,     v=-2.20, -3.83,  6.04;$$
$v = 6$ является корнем уравнения (12).
Возможные корни для разных $p$ и $q$ ($x^3+px+q=0$ для (8)) проверяются методом подстановки.
Поделим (12) на $(v-6)$ имеем (13)
$$v^5+6v^4-26v^3-84v^2+313v-210=0,\eqno (13)$$
Умножим (13) на $v$ и подставим $v =v_1-1$
$$v_1^6-41v_1^4+60v_1^3+364v_1^2-960v_1+576=0. 
 \eqno(14)$$
Также из (8) $$p=-17.88,  -23;           q=  10.625,  354;$$
$$v_1^3-17,88v_1+10.62=0$$
$$v_1=0.60,  3.89, -4.499,$$
корни $v= 0, 3, -5.$
Поделим (13) на $(v-3)$ и $(v+5)$
$$ v^3+4v^2-19v+14=0.\eqno (14)$$


Кубическое уравнение и уравнение четвёртой степени можно решать аналогичным методом, только вместо $u=v^3$ в (8) берём $u=v^2$ и $d=0$, тогда из (14) домножив его на $v$ получим уравнение (15):
$$v^4+4v^3-19v^2+14v=0,\eqno (15)$$
для которого: $$v^2-2.69v+1.5=0,       v^2+6.69v-1 5=0,$$
корни $$v=0, 1, 2, -7.$$
Окончательный ответ:
$$(v-1)(v-2)(v-3)(v+5)(v-6)(v+7)=0.$$

 Профиль  
                  
 
 Re: Исключение из теоремы Абеля
Сообщение19.04.2021, 00:17 
Модератор


20/03/14
11996
cheslav
Оформите все формулы, пожалуйста.

 Профиль  
                  
 
 Posted automatically
Сообщение19.04.2021, 00:45 
Модератор


20/03/14
11996
 i  Тема перемещена из форума «Математика (общие вопросы)» в форум «Карантин»
по следующим причинам:

- неправильно набраны формулы (краткие инструкции: «Краткий FAQ по тегу [math]» и видеоролик Как записывать формулы);


Исправьте все Ваши ошибки и сообщите об этом в теме Сообщение в карантине исправлено.
Настоятельно рекомендуется ознакомиться с темами Что такое карантин и что нужно делать, чтобы там оказаться и Правила научного форума.

 Профиль  
                  
 
 Posted automatically
Сообщение20.05.2021, 17:47 
Супермодератор
Аватара пользователя


09/05/12
25065
Кронштадт
 i  Тема перемещена из форума «Карантин» в форум «Математика (общие вопросы)»

 Профиль  
                  
 
 Re: Исключение из теоремы Абеля
Сообщение20.05.2021, 18:09 
Заслуженный участник


20/12/10
8795
cheslav
Вы осознали то, что я Вам написал в ЛС?

 Профиль  
                  
 
 Re: Исключение из теоремы Абеля
Сообщение23.05.2021, 21:27 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


11/03/08
8334
Москва
То, что в (10) коэффициент p входит в оба сомножителя, "это баг или фича"?

-- 23 май 2021, 22:12 --

cheslav в сообщении #1515005 писал(а):
утверждению теоремы Абеля о том,что не всякое уравнение степени выше четвёртой может иметь корни


Извините, что Вы имеете в виду?

 Профиль  
                  
 
 Re: Исключение из теоремы Абеля
Сообщение24.05.2021, 10:03 


15/08/20
25
После умножения коэффициент $p$ сокращается,это "фича".

"Суть теоремы Абеля — Руффини сводится к тому, что для произвольных уравнений степени больше четвёртой невозможно указать явную формулу для решений, то есть формулу, содержащую только арифметические операции и корни произвольной степени."

 Профиль  
                  
 
 Re: Исключение из теоремы Абеля
Сообщение24.05.2021, 10:09 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


26/01/14
4029
cheslav в сообщении #1519784 писал(а):
Суть теоремы Абеля — Руффини сводится к тому, что для произвольных уравнений степени больше четвёртой невозможно указать явную формулу для решений, то есть формулу, содержащую только арифметические операции и корни произвольной степени.
А теперь сравните с тем, что написали про теорему Абеля Вы. "Всякое уравнение такой-то степени имеет корни" и "Для корней уравнений такой-то степени существует явная формула в радикалах" - между этими двумя утверждениями огромная пропасть.
Если говорить про действительные корни, то они даже не у любого квадратного уравнения есть, теорема Абеля тут не нужна.
Если говорить про комплексные корни, то всякое уравнение $n$-й степени (хоть пятой, хоть десятой, любой), имеет ровно $n$ комплексных корней с учётом кратности. Просто для них нет явной формулы в радикалах, а корни сами существуют (см. Основную теорему алгебры).

 Профиль  
                  
 
 Re: Исключение из теоремы Абеля
Сообщение24.05.2021, 16:11 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


11/03/08
8334
Москва
cheslav в сообщении #1519784 писал(а):
После умножения коэффициент $p$ сокращается,это "фича".


Наверно, сокращается. Не проверял выкладок. Но, извините, можно представить уравнение 5 степени в виде
$(x^2+px+q)(x^3+kx^2+mx+n)=0$, но откуда следует, что для всякого уравнения будет выполняться $k=-p$?
Вот, скажем, простенькое уравнение $x^5-5x^4+10x^3-10x^2+5x-1=(x-1)^5$ как Вы так разложите?

 Профиль  
                  
 
 Re: Исключение из теоремы Абеля
Сообщение26.05.2021, 20:09 


15/08/20
25
Mikhail_K в сообщении #1519785 писал(а):
А теперь сравните с тем, что написали про теорему Абеля Вы. "Всякое уравнение такой-то степени имеет корни"

cheslav в сообщении #1515005 писал(а):
.Это условие тождественно утверждению теоремы Абеля о том,что не всякое уравнение степени выше четвёртой может иметь корни.

Нужно было ещё "выраженные в формулах и радикалах"
Вы правы. Спасибо

-- 26.05.2021, 20:22 --

Формула (10) применяется к уравнению пятой степени в каноническом виде (9),которое получается после подстановки
$x=y-A/5$ в уравнение:
$$ y^5+Ay^4+By^3+Cy^2+Dy+E=0.$$

 Профиль  
                  
 
 Re: Исключение из теоремы Абеля
Сообщение27.05.2021, 16:34 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


11/03/08
8334
Москва
cheslav в сообщении #1515005 писал(а):
$$D^2+(B^2)C=ABD.\eqno(11)$$

В общем случае это тождество выполняться не будет. То есть метод не для решения уравнений 5 степени, а для решения определённого подкласса уравнений 5 степени. В общем-то, это тоже хорошо, добавить к уже известным (однородные и возвратные) ещё один частный случай.
Но я не понял, как Вы получаете коэффициенты p, q и т.д. В уравнение (1) просто подставить $u=v^3$ нельзя, в уравнении было два разных неизвестных, а не одна, по сути, величина.

 Профиль  
                  
 
 Re: Исключение из теоремы Абеля
Сообщение27.05.2021, 19:36 


15/08/20
25
Евгений Машеров в сообщении #1520210 писал(а):
В общем случае это тождество выполняться не будет. То есть метод не для решения уравнений 5 степени, а для решения определённого подкласса уравнений 5 степени

Формула (10) применяется к уравнению пятой степени в каноническом виде (9),которое получается после подстановки
$x=y-A/5$ в уравнение:
$$ y^5+Ay^4+By^3+Cy^2+Dy+E=0.$$
Разве это не самый общий вид уравнения пятой степени?

Параметры $p$ и $q$ в примере берутся из уравнения (8)
$$v^3+((b\sqrt{A}+b-4ac)/2a\sqrt{A})v+(d\sqrt{A}-1+bd-2ae)/2a\sqrt{A}=0.\eqno (8)$$
Для уравнения (1) $u=v^3$ это просто частный случай и ничего более.

-- 27.05.2021, 20:13 --

Формула (10) представляет собой произведение двух сомножителей на которые может разлагаться (9) в общем виде.Если их перемножить то получится:
$$x^5+(q+m-p^2)x^3+(mp-pq+n)x^2+(mq+np)x+nq=0$$
Из системы полученной после приравнивания коэффициентов этого уравнения с коэффициентами уравнения (9) получается (11).

 Профиль  
                  
 
 Re: Исключение из теоремы Абеля
Сообщение28.05.2021, 07:10 


16/08/05
1130
cheslav

Проверьте (12) в любой математической программе, хотя бы в ВольфрамАльфа, у него нет корня $v=6$.

 Профиль  
                  
 
 Re: Исключение из теоремы Абеля
Сообщение28.05.2021, 08:30 
Аватара пользователя


22/07/08
1127
Предместья
cheslav в сообщении #1515005 писал(а):
$v = 6$ является корнем уравнения (12).

Не является.

Если подставить в уравнение (12) значение $v =6$,
то получится $- 58824$, вместо нуля.

 Профиль  
                  
 
 Re: Исключение из теоремы Абеля
Сообщение28.05.2021, 10:05 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


11/03/08
8334
Москва
Что-то у меня все не получаются...
Цитата:
x1 = -8.809999999985607
x2 = -2.1599999999857484
x3 = 0.5000000000142507
x4 = 8.280000000014118

И, видимо, ещё пара комплексных.

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 30 ]  На страницу 1, 2  След.

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group