Исключение из теоремы Абеля

[cheslav]

РЕШЕНИЕ УРАВНЕНИЙ ШЕСТОЙ И ПЯТОЙ СТЕПЕНИ

Подскажите, пожалуйста, есть ли в следующем методе решения степенных уравнений логические ошибки и (если нет таких) в каких задачах он может быть полезен?

Опишем метод решения в целых числах произвольного уравнения 2-й степени с двумя неизвестными (метод выделения полных квадратов по Лагранжу.
Общее уравнение 2-й степени с двумя неизвестным

$$au^2 + buv + cv^2 + du + ev + f = 0,\eqno (1)$$

может быть приведено к виду (2),

$$x^2 + Ay^2=B,\eqno (2)$$

где

$$A=b^2-4ac\ne0,\eqno (3)$$

$$B=(bd-2ae)^2-(b^2-4ac)(d^2-4af).$$

при этом

$$x=(b^2-4ac)v+bd-2ae,\eqno (4)$$

$$y=2au+bv+d.\eqno (5)$$

Таким образом,любое решение $(u,v)$ уравнения (1) находится
по формулам:

$$u=-bx+(b^2-4ac)y-2a(be-2dc),2a(b^2-4ac),$$

$$v=x-bd+2ae, b^2-4ac,$$

где $(x,y)$ - решения уравнения (2)."


Если в (2) взять $x=1-y\sqrt{A}$,то

$$y=-(B-1)/2\sqrt{A}, x=1+(B-1)/2,$$

найденные $x$ и $y$ подставить в (4) и (5),то получится (6):

$$(b^2-4ac)v+bd-2ae-1+(2au+bv+d)\sqrt{A}=0.\eqno (6)$$

Теперь, если в (1) и (6) взять $u = v^3$, то получается (7) и (8)

$$av^6+bv^4+cv^3+dv^2+ev+f=0, \eqno(7)$$

$$v^3+((b\sqrt{A}+b-4ac)/2a\sqrt{A})v+(d\sqrt{A}-1+bd-2ae)/2a\sqrt{A}=0.\eqno (8)$$

Очевидно,что некоторые корни (8) будут решениями и для (7).
Для того чтобы уравнение пятой степени (9) разлагалось на множители (10) необходимо чтобы выполнялось равенство (11):

$$x^5+Ax^3+Bx^2+Cx+D=0,\eqno(9)$$

$$(x^2+px+q)(x^3-px^2+mx+n)=0,\eqno(10)$$

$$D^2+(B^2)C=ABD.\eqno(11)$$

которое получается если перемножить сомножители в (10) и приравнять полученные коэффициенты с соответствующими
из (9).Это условие тождественно утверждению теоремы Абеля о том,что не всякое уравнение степени выше четвёртой может иметь корни.Для уравнения шестой степени соответствующее условие факторизации будет иметь вид:

$$x^6+Ax^4+Bx^3+Cx^2+Dx+E=0,$$

$$D^3+A(B^2)(D^2)+E(B^3)=(B^2)CD.$$

Например:
Уравнение

$$v^6-62v^4+72v^3-817v^2-2088v+1260=0,\eqno (12)$$

из (8)

$$p=-28, -34; q=-51, 868;$$

$$v^3-28v-51=0, v=-2.20, -3.83, 6.04;$$

$v = 6$ является корнем уравнения (12).
Возможные корни для разных $p$ и $q$ ($x^3+px+q=0$ для (8)) проверяются методом подстановки.
Поделим (12) на $(v-6)$ имеем (13)

$$v^5+6v^4-26v^3-84v^2+313v-210=0,\eqno (13)$$

Умножим (13) на $v$ и подставим $v =v_1-1$

$$v_1^6-41v_1^4+60v_1^3+364v_1^2-960v_1+576=0. \eqno(14)$$

Также из (8)

$$p=-17.88, -23; q= 10.625, 354;$$

$$v_1^3-17,88v_1+10.62=0$$

$$v_1=0.60, 3.89, -4.499,$$

корни $v= 0, 3, -5.$
Поделим (13) на $(v-3)$ и $(v+5)$

$$ v^3+4v^2-19v+14=0.\eqno (14)$$

Кубическое уравнение и уравнение четвёртой степени можно решать аналогичным методом, только вместо $u=v^3$ в (8) берём $u=v^2$ и $d=0$, тогда из (14) домножив его на $v$ получим уравнение (15):

$$v^4+4v^3-19v^2+14v=0,\eqno (15)$$

для которого:

$$v^2-2.69v+1.5=0, v^2+6.69v-1 5=0,$$

корни

$$v=0, 1, 2, -7.$$

Окончательный ответ:

$$(v-1)(v-2)(v-3)(v+5)(v-6)(v+7)=0.$$

[Lia]

cheslav
Оформите все формулы, пожалуйста.

[Lia]

Тема перемещена из форума «Математика (общие вопросы)» в форум «Карантин»
по следующим причинам:

- неправильно набраны формулы (краткие инструкции: «Краткий FAQ по тегу [math]» и видеоролик Как записывать формулы);


Исправьте все Ваши ошибки и сообщите об этом в теме Сообщение в карантине исправлено.
Настоятельно рекомендуется ознакомиться с темами Что такое карантин и что нужно делать, чтобы там оказаться и Правила научного форума.

[Pphantom]

Тема перемещена из форума «Карантин» в форум «Математика (общие вопросы)»

[nnosipov]

cheslav
Вы осознали то, что я Вам написал в ЛС?

[Евгений Машеров]

То, что в (10) коэффициент p входит в оба сомножителя, "это баг или фича"?

-- 23 май 2021, 22:12 --

cheslav в сообщении #1515005 писал(а):

утверждению теоремы Абеля о том,что не всякое уравнение степени выше четвёртой может иметь корни

Извините, что Вы имеете в виду?

[cheslav]

После умножения коэффициент $p$ сокращается,это "фича".

"Суть теоремы Абеля — Руффини сводится к тому, что для произвольных уравнений степени больше четвёртой невозможно указать явную формулу для решений, то есть формулу, содержащую только арифметические операции и корни произвольной степени."

[Mikhail_K]

cheslav в сообщении #1519784 писал(а):

Суть теоремы Абеля — Руффини сводится к тому, что для произвольных уравнений степени больше четвёртой невозможно указать явную формулу для решений, то есть формулу, содержащую только арифметические операции и корни произвольной степени.

А теперь сравните с тем, что написали про теорему Абеля Вы. "Всякое уравнение такой-то степени имеет корни" и "Для корней уравнений такой-то степени существует явная формула в радикалах" - между этими двумя утверждениями огромная пропасть.
Если говорить про действительные корни, то они даже не у любого квадратного уравнения есть, теорема Абеля тут не нужна.
Если говорить про комплексные корни, то всякое уравнение $n$-й степени (хоть пятой, хоть десятой, любой), имеет ровно $n$ комплексных корней с учётом кратности. Просто для них нет явной формулы в радикалах, а корни сами существуют (см. Основную теорему алгебры).

[Евгений Машеров]

cheslav в сообщении #1519784 писал(а):

После умножения коэффициент $p$ сокращается,это "фича".

Наверно, сокращается. Не проверял выкладок. Но, извините, можно представить уравнение 5 степени в виде
$(x^2+px+q)(x^3+kx^2+mx+n)=0$, но откуда следует, что для всякого уравнения будет выполняться $k=-p$?
Вот, скажем, простенькое уравнение $x^5-5x^4+10x^3-10x^2+5x-1=(x-1)^5$ как Вы так разложите?

[cheslav]

Mikhail_K в сообщении #1519785 писал(а):

А теперь сравните с тем, что написали про теорему Абеля Вы. "Всякое уравнение такой-то степени имеет корни"

cheslav в сообщении #1515005 писал(а):

.Это условие тождественно утверждению теоремы Абеля о том,что не всякое уравнение степени выше четвёртой может иметь корни.

Нужно было ещё "выраженные в формулах и радикалах"
Вы правы. Спасибо

-- 26.05.2021, 20:22 --

Формула (10) применяется к уравнению пятой степени в каноническом виде (9),которое получается после подстановки
$x=y-A/5$ в уравнение:

$$ y^5+Ay^4+By^3+Cy^2+Dy+E=0.$$

[Евгений Машеров]

cheslav в сообщении #1515005 писал(а):

$$D^2+(B^2)C=ABD.\eqno(11)$$

В общем случае это тождество выполняться не будет. То есть метод не для решения уравнений 5 степени, а для решения определённого подкласса уравнений 5 степени. В общем-то, это тоже хорошо, добавить к уже известным (однородные и возвратные) ещё один частный случай.
Но я не понял, как Вы получаете коэффициенты p, q и т.д. В уравнение (1) просто подставить $u=v^3$ нельзя, в уравнении было два разных неизвестных, а не одна, по сути, величина.

[cheslav]

Евгений Машеров в сообщении #1520210 писал(а):

В общем случае это тождество выполняться не будет. То есть метод не для решения уравнений 5 степени, а для решения определённого подкласса уравнений 5 степени

Формула (10) применяется к уравнению пятой степени в каноническом виде (9),которое получается после подстановки
$x=y-A/5$ в уравнение:

$$ y^5+Ay^4+By^3+Cy^2+Dy+E=0.$$

Разве это не самый общий вид уравнения пятой степени?

Параметры $p$ и $q$ в примере берутся из уравнения (8)

$$v^3+((b\sqrt{A}+b-4ac)/2a\sqrt{A})v+(d\sqrt{A}-1+bd-2ae)/2a\sqrt{A}=0.\eqno (8)$$

Для уравнения (1) $u=v^3$ это просто частный случай и ничего более.

-- 27.05.2021, 20:13 --

Формула (10) представляет собой произведение двух сомножителей на которые может разлагаться (9) в общем виде.Если их перемножить то получится:

$$x^5+(q+m-p^2)x^3+(mp-pq+n)x^2+(mq+np)x+nq=0$$

Из системы полученной после приравнивания коэффициентов этого уравнения с коэффициентами уравнения (9) получается (11).

[dmd]

cheslav

Проверьте (12) в любой математической программе, хотя бы в ВольфрамАльфа, у него нет корня $v=6$.

[Лукомор]

cheslav в сообщении #1515005 писал(а):

$v = 6$ является корнем уравнения (12).

Не является.

Если подставить в уравнение (12) значение $v =6$,
то получится $- 58824$, вместо нуля.

[Евгений Машеров]

Что-то у меня все не получаются...

Цитата:

x1 = -8.809999999985607
x2 = -2.1599999999857484
x3 = 0.5000000000142507
x4 = 8.280000000014118

И, видимо, ещё пара комплексных.