Надо вычислить предел

[Alexiii]

$$\lim_{n\to\infty}\sum_{k=n}^{2n}\frac{1}{k}$$

Надумал: Естественно,предел смахивает на ln.

$ln2=\int_n^{2n}\frac{1}{t}dt\le\sum_{k=n}^{2n}\frac{1}{k}$
и
$\sum_{k=n}^{2n}\frac{1}{k}\le\int_n^{2n}\frac{1}{t-1}dt=ln\frac{2n-1}{n-1}$

Ну и в конце $\lim_{n\to\infty}\sum_{k=n}^{2n}\frac{1}{k}=ln2$
Ваши соображения на этот счет?

[AD]

Верно. Убеждает.

[ewert]

Неточно. Верхние пределы в интегралах должны быть $(2n+1)$, т.к. сумма содержит $(n+1)$ слагаемое. А так верно.

[Alexiii]

Спасибо!

[RIP]

Можно ещё углядеть интегральную сумму Римана:

$$\sum_{k=n}^{2n}\frac1k=\frac1n+\frac1n\sum_{k=1}^n\frac1{1+k/n}\to0+\int_0^1\frac{dx}{1+x}=\log2.$$

[AD]

RIP писал(а):

Можно ещё углядеть интегральную сумму Римана

Ух ты

[ewert]

На самом деле это -- одно и то же. Соображения монотонности -- это лишь стандартный способ избежать возни с оцениванием интегральных сумм.

[AD]

Ну не совсем всеж-таки. Просто, говорю, метод прикарманил.

[Brukvalub]

А если кто знает асимптотику частичных сумм гармонического ряда:

\[ \sum\limits_{k = 1}^n {\frac{1}{k}} = \ln n + \gamma + \bar o(1)\;,\;n \to \infty \]

, для того эта задача и выеденного яйца не стоит.

[ewert]

Brukvalub писал(а):

А если кто знает асимптотику частичных сумм гармонического ряда:

\[ \sum\limits_{k = 1}^n {\frac{1}{k}} = \ln n + \gamma + \bar o(1)\;,\;n \to \infty \]

, для того эта задача и выеденного яйца не стоит.

а вот это -- явно избыточно. Не следует запоминать всяческие спецэффекты для решения банальных задач.

[RIP]

Ага, а ещё до кучи можно заметить, что

$$\sum_{k=n}^{2n}\frac1k=\frac1n+\left(\frac11-\frac12+\frac13-\frac14+\ldots+\frac1{2n-1}-\frac1{2n}\right)\to\sum_{n=1}^\infty\frac{(-1)^{n-1}}n=\log2$$

[Brukvalub]

ewert писал(а):

а вот это -- явно избыточно. Не следует запоминать всяческие спецэффекты для решения банальных задач.

А "по делу" что-нибудь сказать есть?

[ewert]

есть. И ужо откровенно сказано.

Данная сумма -- есть интегральная. Как её ни крути. А крутить можно по-разному, но в любом случае так или иначе, а на интегральную сумму мы выходим. После чего всем ежам всё очевидно.

А вот сведение её к каким-то там спецфункциям -- это не менее откровенное пижонство. Уж извините, но откровенное абсолютно. Поскольку тщательно затуманивает существо задачи.

[Brukvalub]

ewert писал(а):

Данная сумма -- есть интегральная. Как её ни крути. А крутить можно по-разному, но в любом случае так или иначе, а на интегральную сумму мы выходим. После чего всем ежам всё очевидно.

А вот сведение её к каким-то там спецфункциям -- это не менее откровенное пижонство.

Какое, к черту, пижонство? Сейчас на мех-мате МГУ лектор каждого потока рассказывает в теме "определенный интеграл" эту асимптотику, которая тривиально выводится из геометрического смысла определенного интеграла. Вы бы взяли лучше учебничек, да повторили материал:
Архипов Г.И., Садовничий В.А., Чубариков В.Н. — Лекции по математическому анализу

[ewert]

Brukvalub писал(а):

Вы бы взяли лучше учебничек, да повторили материал:
Архипов Г.И., Садовничий В.А., Чубариков В.Н. — Лекции по математическому анализу

зачем мне брать откровенно неадекватные учебнички? (пардон, может, авторов я и оскорбил -- честно признаюсь, что конкретно их не читал; но ведь Вы же лично меня убеждали, что сии аффтары не понимают, что есть существо дела, а что -- лишь его формальное оформление, а Вам я привык верить как родному).