2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки


Правила форума


Посмотреть правила форума



Начать новую тему Ответить на тему
 
 Произведение квадратной, верхнетреугольной и обратной матриц
Сообщение02.04.2021, 19:42 


02/04/21
12
Магнитогорск
Задача из Е.Е. Тыртышников - Матричный анализ и линейная алгебра.

Пусть $H$ - группа невырожденных верхних треугольных матриц порядка $n$, $G$ - группа всех обратимых матриц порядка $n$. Верно ли, что $ABA^{-1}$ $\in$ $H$ для любых матриц $B$ $\in$ $H$ и $A$ $\in$ $G$?

Понятно, что $\det(ABA^{-1})=\det(B)$ , но это еще не значит, что матрица $ABA^{-1}$ тоже верхняя треугольная матрица, хотя уже ясно, что она невырожденная, так как её определитель равен определителю матрицы $B$, которая невырожденная по условию.
При попытке рассмотрения элементов матрицы $ABA^{-1}$ , где $i>j$ (элементов под главной диагональю), получаем что элемент $a_{ij} = a_{i1}b_{11}a^{-1}_{1j} + (a_{i1}b_{12} + a_{i2}b_{22})a^{-1}_{2j} + (a_{i1}b_{13} + a_{i2}b_{23} + a_{i3}b_{33})a^{-1}_{3j}  + ... + (a_{i1}b_{1n} + a_{i2}b_{2n} + ... + a_{in}b_{nn})a^{-1}_{nj}$

А это не похоже на ноль, так как в общем случае все элементы $a,b,a^{-1}$ в сумме выше ненулевые. Тогда ноль возможен только при возможности разбиения суммы на четное количество подсумм, которые дают одинаковые по модулю, но противоположные по знаку значения. А возможно ли это в общем случае - непонятно.

В итоге не ясно, как доказать, что $ABA^{-1}$ $\in$ $H$ либо $ABA^{-1}$ $\notin$ $H$

 Профиль  
                  
 
 Posted automatically
Сообщение02.04.2021, 20:05 
Супермодератор
Аватара пользователя


09/05/12
23996
Кронштадт
 i  Тема перемещена из форума «Помогите решить / разобраться (М)» в форум «Карантин»
по следующим причинам:

- неправильно набраны формулы (краткие инструкции: «Краткий FAQ по тегу [math]» и видеоролик Как записывать формулы);
- отсутствуют собственные содержательные попытки решения задачи.

Исправьте все Ваши ошибки и сообщите об этом в теме Сообщение в карантине исправлено.
Настоятельно рекомендуется ознакомиться с темами Что такое карантин и что нужно делать, чтобы там оказаться и Правила научного форума.

 Профиль  
                  
 
 Posted automatically
Сообщение03.04.2021, 14:30 
Супермодератор
Аватара пользователя


09/05/12
23996
Кронштадт
 i  Тема перемещена из форума «Карантин» в форум «Помогите решить / разобраться (М)»

 Профиль  
                  
 
 Re: Произведение квадратной, верхнетреугольной и обратной матриц
Сообщение03.04.2021, 14:46 
Заслуженный участник


23/07/08
9148
Харьков
pkunlim в сообщении #1512625 писал(а):
В итоге не ясно, как доказать, что $ABA^{-1} \in H$ либо $ABA^{-1} \notin H$
Вы неправильно ставите вопрос. Представьте ситуацию, что для некоторых $B \in H, \;A\in G$ матрица $ABA^{-1}$ верхнетреугольная, а для некоторых нет. Тогда Вы не докажете ни что $ABA^{-1} \in H$, ни что $ABA^{-1}\notin H$. В таком случае говорят, что утверждение $ABA^{-1} \in H$ неверно, часто опуская слова «в общем случае» или «для любых матриц $B \in H$ и $A \in G$».

Если Вы пришли к выводу, что в общем случае утверждение неверно, в обоснование Вам достаточно привести один-единственный контрпример. В данном случае это значит — предъявить матрицы $B \in H, \;A\in G$, для которых $ABA^{-1} \in H$ не выполняется. Контрпример придумать несложно, ищите среди матриц $2\times 2$.

Замечание по $\TeX$. На одну формулу полагается ровно два знака доллара, один в начале, другой в конце. То есть вместо $ABA^{-1}$ $\in$ $H$ пишите $ABA^{-1} \in H$. При несоблюдении этого правила некоторые формулы выглядят заметно хуже.

 Профиль  
                  
 
 Re: Произведение квадратной, верхнетреугольной и обратной матриц
Сообщение05.04.2021, 13:02 


02/04/21
12
Магнитогорск
svv в сообщении #1512699 писал(а):
Если Вы пришли к выводу, что в общем случае утверждение неверно, в обоснование Вам достаточно привести один-единственный контрпример. В данном случае это значит — предъявить матрицы $B \in H, \;A\in G$, для которых $ABA^{-1} \in H$ не выполняется. Контрпример придумать несложно, ищите среди матриц $2\times 2$.

Замечание по $\TeX$. На одну формулу полагается ровно два знака доллара, один в начале, другой в конце. То есть вместо $ABA^{-1}$ $\in$ $H$ пишите $ABA^{-1} \in H$. При несоблюдении этого правила некоторые формулы выглядят заметно хуже.



Спасибо, действительно, достаточно взять $A=\begin{bmatrix} 0& 1\\ 1&  0 \end{bmatrix}$ и $B=\begin{bmatrix} 1& 2\\ 0&  3 \end{bmatrix}$ , получить $ABA^{-1} = \begin{bmatrix} 3& 0\\ 2&  1 \end{bmatrix}$ , что уже не является верхней треугольной матрицей.

 Профиль  
                  
 
 Re: Произведение квадратной, верхнетреугольной и обратной матриц
Сообщение05.04.2021, 13:04 
Заслуженный участник


23/07/08
9148
Харьков
Вы не поверите, но я придумал абсолютно тот же пример, даже значения элементов $B$ были те же: $1,2,3$.

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 6 ] 

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group