Разложение в ряд Фурье условно интегрируемых функций

[Neprofessional]

Подскажите, пожалуйста, насчет разложения действительных функций в ряд Фурье.
Почему-то в учебниках анализа (я смотрел Кудрявцева и Фихтенгольца) без всяких объяснений предлагается рассматривать разложения только абсолютно интегрируемых функций. Почему условно интегрируемые функции выпадают из рассмотрения? Никаких намеков в этих учебниках я не нашел. Конечно, в случае абсолютно интегрируемых функций легко доказать сходимость интегралов, которыми задаются коэффициенты разложения. Но, по-моему, и для условно интегрируемых функций тоже можно это сделать – с помощью признака сходимости Абеля. Только здесь у меня возникает еще один вопрос: я не совсем уверен в том, что этот признак применим для ограниченных полуинтервалов. Везде в учебниках этот признак доказывается только для бесконечных полуинтервалов, но, по-моему, доказательство самым прямым образом можно перенести и на случай полуинтервалов конечных. Прав ли я?

[Slav-27]

(я перепутал ряд Фурье и преобразование Фурье, и вообще чепуху написал)

Можно даже обобщённые, в частности $L^1_{\mathrm{loc}}(\mathbb R^n)$ -- измеримые, у которых модуль интегрируем по Лебегу на каждом компакте; в частности, функции на прямой, интегрируемые по Риману (в собственном смысле) на каждом отрезке. Этого хватит? Посмотрите Кириллов, Гвишиани, Теоремы и задачи функционального анализа, либо Рудин, Функциональный анализ.

[Neprofessional]

В книги по функциональному анализу мне пока рано заглядывать, но за попытку объяснить спасибо.

[Padawan]

Neprofessional в сообщении #1512335 писал(а):

Но, по-моему, и для условно интегрируемых функций тоже можно это сделать – с помощью признака сходимости Абеля.

Да, будет сходится интеграл. Найти коэффициенты ряда Фурье можно. Только что с ним потом делать? Видимо для условно сходящихся интегралов никакой теории развить не удается. В частности, будет ли справедлива лемма Римана-Лебега о стремлении коэффициентов Фурье к нулю? Мне кажется, что нет.

[Neprofessional]

Вот это доступное объяснение. Ясно, четко и по существу вопроса. Спасибо большое.
Просмотрел сейчас заново у Кудрявцева доказательство леммы, о которой вы упомянули (там она проходит, как теорема Римана) – оказалось, что абсолютная интегрируемость в нем вообще не задействована. Так что, видимо, эта лемма-теорема все-таки верна и для условно интегрируемых на отрезке функций. Может быть, просто-напросто, в приложениях такие функции никогда не встречаются, поэтому с ними и не желают возиться авторы учебников математики для физиков?

[Padawan]

Neprofessional в сообщении #1512572 писал(а):

оказалось, что абсолютная интегрируемость в нем вообще не задействована

Задействована. Смотрите внимательно.

[Slav-27]

(я перепутал ряд Фурье и преобразование Фурье)

Neprofessional в сообщении #1512335 писал(а):

Конечно, в случае абсолютно интегрируемых функций легко доказать сходимость интегралов, которыми задаются коэффициенты разложения. Но, по-моему, и для условно интегрируемых функций тоже можно это сделать – с помощью признака сходимости Абеля.

Например, $\displaystyle\lim\limits_{r\to+\infty}\int\limits_{-r}^{r}dx\;\frac{\sin x}{x}$ существует и конечен, а $\displaystyle\lim\limits_{r\to+\infty}\int\limits_{-r}^{r}dx\;\frac{\sin x}{x}e^{ixy}$ при $y=1$ бесконечен. Для признака Абеля же надо, чтобы что-то было монотонно, как я понимаю.

-- 02.04.2021, 17:29 --

Если функция $f$ из $L^2(\mathbb R)$ (например, непрерывна и квадрат модуля интегрируем; это верно для предыдущего примера), то $\displaystyle\lim\limits_{r\to+\infty}\int\limits_{-r}^{r}dx\;f(x)e^{2\pi ixy}$ существует и конечен почти для всех $y$, и полученная таким образом функция $y$ является преобразованием Фурье функции $f$ (теорема Карлесона).

[Padawan]

Slav-27
Речь же идет о ряде Фурье, а не преобразовании Фурье. Там интегралы вида $\int\limits_{-\pi}^\pi f(x)\sin nx dx$.

[Neprofessional]

Padawan в сообщении #1512573 писал(а):

Neprofessional в сообщении #1512572 писал(а):

оказалось, что абсолютная интегрируемость в нем вообще не задействована

Задействована. Смотрите внимательно.

Просмотрел еще несколько раз внимательно доказательство у Кудрявцева. Не могу я пока понять, где именно там требуется абсолютная интегрируемость. То есть, она, конечно, упоминается, но, по-моему, если в доказательстве механически заменить слово "абсолютно" на "условно" и убрать значки абсолютной величины у всех подинтегральных выражений, то оно останется верным. Еще подумаю над этим. Или, может быть, вы намекнете попрозрачнее.
Да, и если можно, подскажите, верно ли я думаю, что признак Абеля годится и для ограниченных промежутков интегрирования?

[Padawan]

Там используется лемма, что абсолютно интегрируемую функцию можно приблизить ступенчатой функцией по $L_1$ норме. Теорема Абеля верна и для конечных промежутков интегровпния.

[Neprofessional]

Да, теперь понятно.
Но, все же, думаю, можно извернуться с доказательством. В случае условно интегрируемой функции $f(x)$ эту лемму легко доказать в таком варианте, что $\lim\limits_{n\to\infty}^{}\int\limits_{a}^{b}(f(x)-\varphi$_n$(x))dx = 0$. Далее, используя этот факт в последней цепочке неравенств доказательства теоремы, получим, кроме тех интегралов, которые уже рассмотрены у Кудрявцева, еще два: $\int\limits_{a}^{\xi}f(x)\sin \nu$x$ dx$ и $\int\limits_{\eta}^{b}f(x)\sin \nu$x$ dx$. Оба эти интеграла, согласно признаку Абеля для конечных промежутков, сходятся. Значит, выбором $\xi$ и $\eta$ мы можем сделать их сколь угодно малыми, что и завершает доказательство.
Если я нигде не ошибся, то получается, что коэффициенты Фурье стремятся к нулю с возрастанием номера и для условно интегрируемых функций?
Это, конечно, еще не отменяет вашего предположения о том, что для таких функций не удается развить значимой теории.

[thething]

Neprofessional в сообщении #1512892 писал(а):

Оба эти интеграла, согласно признаку Абеля для конечных промежутков, сходятся.

Не выходит по Абелю. Синусы не монотонны.

[Padawan]

thething
В полуокрестности конечной точки монотонны.

-- Пн апр 05, 2021 17:27:58 --

Neprofessional в сообщении #1512892 писал(а):

Если я нигде не ошибся, то получается, что коэффициенты Фурье стремятся к нулю с возрастанием номера и для условно интегрируемых функций?

Сомневаюсь. Напишите полное доказательство. А не "рассуждая аналогично".

[Neprofessional]

Для условно интегрируемой на $(a,b)$ функции $f(x)$ и построенной в доказательстве у Кудрявцева финитной ступенчатой функции $\varphi(x)$ справедливо

$$\left\lvert\int\limits_{a}^{b}f(x) \sin \nu x dx \right\rvert \leqslant \left\lvert\int\limits_{a}^{\xi}f(x) \sin \nu dx\right\rvert + \left\lvert\int\limits_{\xi}^{\eta}(f(x) - \varphi(x)) \sin \nu dx\right\rvert + \left\lvert\int\limits_{\eta}^{b}f(x) \sin \nu dx\right\rvert + \left\lvert\int\limits_{a}^{b}\varphi(x) \sin \nu x dx \right\rvert \leqslant $$ \leqslant \left\lvert\int\limits_{a}^{\xi}f(x) \sin \nu dx\right\rvert + \int\limits_{\xi}^{\eta}\left\lvert f(x) - \varphi(x)\right\rvert dx + \left\lvert\int\limits_{\eta}^{b}f(x) \sin \nu dx\right\rvert + \left\lvert\int\limits_{a}^{b}\varphi(x) \sin \nu x dx \right\rvert.$$

Выберем произвольно $\varepsilon > 0$. Выберем $\xi \in (a,b)$ так, чтобы первое слагаемое справа было меньше $\frac{\varepsilon}{4}$. Затем выберем $\eta \in (a,b)$ так, чтобы третье слагаемое было меньше $\frac{\varepsilon}{4}$. Это возможно, т.к. оба интеграла сходятся по признаку Абеля. Теперь для выбранных $\xi$ и $\eta$ выберем функцию $\varphi (x)$ так, чтобы второе слагаемое было меньше $\frac{\varepsilon}{4}$ (по построению этой функции значки абсолютной величины в этом слагаемом излишни). И, наконец, выберем $\nu_\varepsilon$ так, чтобы для выбранной функции $\varphi (x)$ и для любых $\nu$ таких, что $\left\lvert\nu\right\rvert > \nu_\varepsilon$ четвертое слагаемое тоже было меньше $\frac{\varepsilon}{4}$. Тогда для всех выбранных значений $\nu$ получим

$$\left\lvert\int\limits_{a}^{b}f(x) \sin \nu x dx \right\rvert < \frac{\varepsilon}{4} + \frac{\varepsilon}{4} + \frac{\varepsilon}{4} + \frac{\varepsilon}{4} = \varepsilon,$$

что и завершает доказательство.

[Neprofessional]

Виноват, пропустил в некоторых местах иксы в выражении $\sin\nu x$. Вместо $\sin\nu$ везде читать $\sin\nu x$.