Влияет ли форма сосуда на вес? Гидростатический парадокс

[Aael]

Пытаюсь понять гидростатическое давление по школьному учебнику за 7 класс. Подскажите, пожалуйста, где ошибка. Вопрос: влияет ли форма сосуда с водой на их общий вес?

Вот у меня есть электронные кухонные весы с точностью до грамма, цилиндрический стакан диаметром 5 см, вода и трубка (4мм в диаметре). Я могу изменить высоту жидкости (с h до H), засасывая её в трубку. Тогда давление жидкости на дно увеличится, при равных площадях дна, сила, с которой жидкость действует на дно, увеличится, и весы под стаканом покажут большее значение (т.е. вес стакана с водой увеличится).



Вес стакана в первом случае: $\displaystyle F_1=p_1\cdot S=\rho g h \cdot \pi R^2$
Вес стакана во втором случае: $\displaystyle F_2=p_2\cdot S=\rho g H \cdot \pi R^2$
Значит, $\displaystyle \frac{F_2}{F_1}=\frac H h$. Т.е. увеличивая высоту в два раза, я увеличу вес (воды в стакане, без стекла) в два раза..
Предположим, что я хочу увеличить показания весов на 10 грамм. Решая неравенство $F_2-F_1 > 10\text{г} \cdot g$, можно найти на сколько нужно поднять воду:
$ H-h > \frac{10\text{г}}{\pi R^2 \cdot \rho} \approx \frac{10\text{г}\cdot \text{м}^3}{3.1415 \cdot 2.5^2 \text{см}^2\cdot 10^3 \text{кг}}= \frac{10\text{г}\cdot (10^2\text{см})^3}{3.1415 \cdot 2.5^2 \text{см}^2\cdot 10^3 \cdot 10^3 \text{г}} \approx 0.5 \text{см}$
Т.е. поднимая воду на пол сантиметра, вес увеличивается на 10 грамм.. так ведь быть не должно, правильно? В чем ошибка? Спасибо.

[Mihr]

Aael в сообщении #1511468 писал(а):

Я могу изменить высоту жидкости (с h до H), засасывая её в трубку. Тогда давление жидкости на дно увеличится

Наоборот, уменьшится.

-- 27.03.2021, 00:40 --

Нелишне ещё оговориться: вес жидкости и давление жидкости на дно сосуда - разные величины. Они не совпадают даже по размерности.

[EUgeneUS]

Aael в сообщении #1511468 писал(а):

так ведь быть не должно, правильно?

Не должно.
Всё должно быть ровно наоборот. Вес уменьшится (для конструкции, нарисованной на рисунке).

Aael в сообщении #1511468 писал(а):

В чем ошибка?

Подумайте, почему вода засасывается в трубку.

[Mihr]

EUgeneUS в сообщении #1511470 писал(а):

Вес уменьшится (для конструкции, нарисованной на рисунке).

На всякий случай уточню для ТС. Вес уменьшится, если под весом понимать силу давления воды на дно сосуда. Вес не изменится, если под весом понимать показания весов.

[Mihr]

Во избежание недоразумений - ещё одно уточнение. В моём ответе предполагается, что:
1) трубка жёстко связана с сосудом (то есть, её не держит человек, и она не висит на гибком шланге, через который откачивался воздух, оставаясь при этом погружённой в воду)
2) после поднятия уровня воды трубка затыкается сверху совершенно невесомой пробкой
3) либо трубка сама тоже совершенно невесома, либо равно присутствует как в первом опыте, так и во втором.
В общем, я хотел сказать, что лишь из-за изменения расположения воды показания весов не изменятся. При этом давление воды на дно чаши, а также сила этого давления во втором опыте окажется меньше, чем в первом.

[EUgeneUS]

Mihr в сообщении #1511523 писал(а):

Во избежание недоразумений - ещё одно уточнение.

Спасибо!
Действительно, в зависимости от того, как дорисовывать картинку на правом рисунке, ответ на вопрос "изменится ли вес (показания весов)?" будет различным.

Я дорисовывал так:
Трубка может быть жестко связана с сосудом, но воздух откачивается через гибкий шланг того же диаметра, которые не оказывает механического воздействия на трубку. В этом случае, показания весов изменятся.
Так же они изменятся если трубка не связана механически с сосудом, а удерживается отдельно чем-то, что не оказывает влияния на весы (например, рукой экспериментатора).

[GraNiNi]

Aael в сообщении #1511468 писал(а):

Подскажите, пожалуйста, где ошибка.

Когда ответите на вопрос, какое давление будет над столбом жидкости в трубке (желтый цвет), то и парадокс сразу исчезнет.

[Aael]

Собственно, после долгих рассуждений я понял, что есть некая разница между тем открыт стакан воды или нет... Если воду удерживает не атмосфера, а крышка, плотно связанная с сосудом (т.е. его часть), то давление воды, создаваемое весом столбика, распространится как на дно и усилит его, так и на эту крышку (но в противоположном направлении). Т.е. сосуд с крышкой, как жесткое тело, вода будет толкать и вниз и вверх, тем самым показания весов под ним не изменятся (но давление воды на стенки в нижней части увеличится и порвет бочку в опыте Паскаля).


Если же воду в столбе удерживает не крышка, а атмосферное давление, то давление воды на дно должно возрасти на величину $\rho g (H-h)$, но какой эффект не дает ему передаться на весы и изменить их показания непонятно. Стройной мысли по этому поводу у меня нет. Все мои рассуждения приводят к тому, что любая сила извне должна либо заставить столб воды всплыть (вместе с его оболочкой) либо вода должна из него вылиться, а баланса не получается.

EUgeneUS в сообщении #1511526 писал(а):

Трубка может быть жестко связана с сосудом, но воздух откачивается через гибкий шланг того же диаметра, которые не оказывает механического воздействия на трубку. В этом случае, показания весов изменятся. Так же они изменятся если трубка не связана механически с сосудом, а удерживается отдельно чем-то, что не оказывает влияния на весы (например, рукой экспериментатора).

Например, тяжелый шприц в стакане, стоит вертикально на дне. В первом случае - поршень опущен, во втором - поднят со столбом воды. Шприц - не является частью стакана и жидкость внутри него контактирует с жидкостью в стакане, что позволяет распространять давление.

GraNiNi в сообщении #1511668 писал(а):

Когда ответите на вопрос, какое давление будет над столбом жидкости в трубке (желтый цвет), то и парадокс сразу исчезнет.

Сверху "пробки" атмосферное давление. Внутри - жидкость давит на пробку с силой, с которой атмосфера давит на открытую площадь поверхности воды в стакане, за вычетом веса столба жидкости и его оболочки (ну а давление - это сила, деленная на площадь пробки). С одной стороны. С другой - поскольку, столб не всплывает, это давление равно нулю. Если увеличивать высоту столба, то в какой-то момент там образуется вакуум, что возможно подтверждает гипотезу о нулевом давлении. Это про давление самого верхнего слоя жидкости.

Mihr в сообщении #1511523 писал(а):

При этом давление воды на дно чаши, а также сила этого давления во втором опыте окажется меньше, чем в первом.

Тут у меня руки совсем опускаются... В моем понимании, давление либо не изменится - если считать интегрально, столбиками. Над участками с большой высотой давление становится больше, над другими - понижается, в среднем по площади - не изменится. Либо увеличится т.к. вычисляется по формуле $\rho g H$. Но чтобы уменьшилось...

[EUgeneUS]

Aael в сообщении #1512021 писал(а):

Если же воду в столбе удерживает не крышка, а атмосферное давление, то давление воды на дно должно возрасти на величину $\rho g (H-h)$, но какой эффект не дает ему передаться на весы и изменить их показания непонятно. Стройной мысли по этому поводу у меня нет. Все мои рассуждения приводят к тому, что любая сила извне должна либо заставить столб воды всплыть (вместе с его оболочкой) либо вода должна из него вылиться, а баланса не получается.

Вы то вспоминаете про атмосферное давление, то забываете. Если не забывать, то и сила, которая "должна либо заставить столб воды всплыть" найдётся.

[Mihr]

Aael в сообщении #1512021 писал(а):

Но чтобы уменьшилось...

Но ведь из-за втягивания воды в трубку уровень воды в открытой части сосуда уменьшился (что, кстати, обозначено и на Вашем рисунке). Что же Вас тогда удивляет?

Aael в сообщении #1512021 писал(а):

В моем понимании, давление либо не изменится - если считать интегрально, столбиками. Над участками с большой высотой давление становится больше, над другими - понижается, в среднем по площади - не изменится. Либо увеличится т.к. вычисляется по формуле $\rho g H$.

То есть, давление воды на дно чаши зависит от того, каким способом его вычисляют?
Раз уж два Ваших рассуждения противоречат друг другу, значит, имеет смысл задуматься: понимаете ли Вы вообще, как формируется давление на дно чаши? Вспомните, пожалуйста, закон Паскаля. И попробуйте его применить к своей задаче.

[nds]

Aael
Попробуйте емкость с водой просто дополнительно накачать воздухом (очень лёгким) до любого давления.
Посмотрите какое давление внутри ёмкости.
Какое давление емкость оказывает на весы.
И какая тут связь.

[GraNiNi]

Aael в сообщении #1512021 писал(а):

Внутри - жидкость давит на пробку с силой, с которой атмосфера давит на открытую площадь поверхности воды в стакане, за вычетом веса столба жидкости

Откуда и следует, что сумма этих давлений (давления столба и давления над столбом - давления на столб) равна атмосферному.

[Amw]

Aael, посчитайте абсолютное давление на дно сосуда для разных "столбов" жидкости в Вашей задаче.

[Aael]

GraNiNi в сообщении #1512064 писал(а):

Откуда и следует, что сумма этих давлений (давления столба и давления над столбом - давления на столб) равна атмосферному.

да, я пересчитал давления и силы во всех возможных местах, объемах и вариациях, и все начало сходиться. Получается, что как только мы открываем большую крышку, которая компенсировала вес столбика, то в жидкость начинает распространяться атмосферное давление и как бы тоже облегчает вес столбика. как-то так..

Спасибо, ребят, я вроде бы разобрался где были ошибки. Вот основные выводы для расчета показаний весов через давление:
1. Есть разница между тем герметичный сосуд или нет. Если он герметичный, то нужно учитывать в показаних весов давления жидкости на стенки во всех возможных местах.
2. Если сосуд не герметичный, то нельзя пренебрегать разницей атмосферного давления на разных высотах. Даже небольшое изменение высоты на деле оказывается большим, и меняет распределение давления в жидкости.

п.с. видео от GetAClass про гидростатический парадокс, там где они воду замораживает и выкидывают, очень сильно меня сбило с толку, не смотрите его.

[Amw]

Aael в сообщении #1512162 писал(а):

Вот основные выводы для расчета показаний весов через давление:
1. Есть разница между тем герметичный сосуд или нет...

Гораздо проще - надо просто не забывать про давление над поверхностью жидкости - всего и делов.