система уравнений

[Rony]

Найти наименьшее значение параметра k, при котором система уравнений
$ \left\{ \begin{array}{l} cosxcosycos(x+y) + \frac 1 8=0,\\ |x|+|y|+|y-kx-\pi|=x(1+k)+\pi, \end{array} \right. $
имеет решение.

Из второго уравнения следуют ограничения: $ x\geqslant 0, y \geqslant 0, y-kx-\pi \leqslant 0
Что делать дальше, подскажите, пожалуйста?

[Brukvalub]

Преобразуйте первое уравнение и исследуйте полученную функцию на экстремум.

[Rony]

В результате всех моих преобразований и x, и y - тригонометрические функции..как такое исследовать на экстремум, я не знаю..

[Бодигрим]

Как обычно: взять первую производную и искать, где она обнуляется.

[Taras]

Цитата:

В результате всех моих преобразований и x, и y - тригонометрические функции..

Не совсем ясно..
Просто по формулам "произведение в сумму" - http://mathworld.wolfram.com/WernerFormulas.html
Ищем производную по иксу, по игреку, ищем экстремальные точки...

[Rony]

$ (cos(x-y)+cos(x+y))cos(x+y)+0,25=0
$(cosxcosy-sinxsiny)^2+0,5(cos2x+cos2y)+0,25=0
После преобразований:
$2cos2xcos2y-sin2xsin2y+cos2x+cos2y+1,5=0
Честно говоря, не знаю, как искать производную с x и y...
вариант 1:
$ -4sin2xcos2y-4sin2ycos2x-2cos2xsin2y-2cos2ysin2x-2sin2x-2sin2y
$sin2y(3cos2x+1)+sin2x(3cos2y+1)=0
3tg2x+ \frac 1 {sin2x} $= -3tg2y- \frac 1 {sin2y}
Вариант 2:
по x:
$ -4sin2xcosy-2cos2xsin2y-2sin2x
по y:
$ -4sin2ycos2x-2cos2ysin2x-2sin2y
и как нули тогда найти?..

[Taras]

Цитата:

Честно говоря, не знаю, как искать производную с x и y...

Фиксируете у( просто какой-то параметр числовой-консанта) и ищете производную по иксу.
и лучше не преобразовывать косинус суммы аргументов, а просто постоянно преобразовывать произведение в сумму.

[Rony]

т.е. 2 вариант))
а для того, чтобы нули найти, также фиксировать x, а потом y?

[Бодигрим]

Цитата:

а для того, чтобы нули найти, также фиксировать x, а потом y?

В точке локального экстремума у дифференцируемой функции $f(x,y)$ выполняется условие $f'_x=f'_y=0$.

[Brukvalub]

Rony писал(а):

(cos(x-y)+cos(x+y))cos(x+y)+0,25=0

Можно просто рассмотреть это выражение как кв. трехчлен относительно cos(x+y) и заняться его дискриминантом.

[Rony]

нули: $sin(x-y)=0; сosx=0; cosy=0
$x-y=\pi n; x=2\pi k; y=2\pi l
дальше знаки определять? как?

[Brukvalub]

Rony писал(а):

дальше знаки определять? как?

Вы бы мой предыдущий пост почитали, глядишь - и знаки определять не придется....

[Rony]

Brukvalub писал(а):

Rony писал(а):

(cos(x-y)+cos(x+y))cos(x+y)+0,25=0

Можно просто рассмотреть это выражение как кв. трехчлен относительно cos(x+y) и заняться его дискриминантом.

Тогда $cos^2(x-y) \geqslant 1
cos(x-y)=+/-1
$y=x- \frac {\pi} 2 +\pi n
Как ещё вместе с этим учесть все ограничения, полученные из второго ур-я?

[Brukvalub]

Rony писал(а):

Как ещё вместе с этим учесть все ограничения, полученные из второго ур-я?

Подставитьcos(x-y)=+/-1 в уравнение и решить его.

[Taras]

2 Rony
ммм, вы уверены в последнем равенстве?