Найти в явном виде обратное преобразование Фурье

[novichok2018]

Можно ли найти в явном виде функцию, от которой преобразование Фурье равно

$$ F[f](w)=\frac{1}{\ch(w)}, $$

$f=?$

[alisa-lebovski]

Это есть в Феллере, в разделе о характеристических функциях.

[novichok2018]

У меня сейчас нет Феллера, можно попросить написать ответ, если он несложный? Спасибо.

[arseniiv]

$\sqrt{\dfrac{\pi} 2} \; \dfrac 1 {\ch \frac{\pi} 2 w}}$ — при условии что образом дельта-функции будет $\dfrac 1 {\sqrt{2 \pi}}$ (это добавлено, потому что вы не указали какое из всевозможных определений преобразования Фурье используете).

(Это ответ Mathematica 8, так что если что не так, всё к ней.)

UPD: Ох, я сначала прямое взял, но обратное точно такое же.

[Lia]

Тема перемещена из форума «Математика (общие вопросы)» в форум «Помогите решить / разобраться (М)»

[Aritaborian]

novichok2018, могли бы и сами у Альфы спросить. (Ответ тот же, что привёл arseniiv.)

[Red_Herring]

Вообще-то это делается легко через вычеты: если $k>0$, берем контур $-N \to N \to N+\pi N i \to -N +\pi N i \to -N$ с целым $N$ и интеграл по сторонам и верху стремится к $0$ при $N\to \infty$. Получаем

$$ \frac{2\pi i}{\sqrt{2\pi }}\sum_{n=0}^\infty \operatorname{Res} \Bigl(\frac{e^{ikw}}{\cosh(w))}; w= \pi (n+\tfrac{1}{2})\pi \Bigr)= \sqrt{2\pi} \sum_{n=0}^\infty e^{-(n+1/2)\pi k} (-1)^n = $$

Из той же серии: заменить $\cosh$ на $\sinh$ (интеграл понимается в смысле гл. значения)

[novichok2018]

Спасибо всем за помощь. Исходная задача была такая:
дана функция g(x,t), найти функцию f(x) из уравнения

$$ \frac{f(x+it)+f(x-it)}{2}=g(x,t), $$

с учётом вышеизложенного решение записывается в виде свёртки с известной функцией.
А вот без i так не решишь.

[alisa-lebovski]

Извините, не успела ответить. В этой связи была летом моя тема topic141714.html