Хар.функция и плотность

[alisa-lebovski]

Найти характеристическую функцию $f(t)$ случайной величины, связанную с ее плотностью $p(x)$ формулой:

$$f(t)=\pi p\left(\frac{\pi}{2}t\right).$$

Если просто взять и предположить, что распределение нормальное, то получается

$$f(t)=\exp\left\{-\frac{\pi t^2}{4}\right\}.$$

Как доказать, что других решений нет? Или они, наоборот, есть? Можно ли как-то описать все решения?

[novichok2018]

Я правильно понимаю, что задача сводится к собственным функциям преобразования Фурье?

[alisa-lebovski]

Не совсем, потому что кроме Фурье, происходит еще преобразование аргумента.

-- Ср июл 15, 2020 21:19:39 --

Нашла второе решение в Феллере (гиперболический косинус):
$$p(x)=\frac{1}{\pi\ch x},\quad f(t)=\frac{1}{\ch(\pi t/2)}.$
Интересно, это все или нет?

[ИСН]

Нет, там их целое гнездо было, описываются не очень красиво, что-то в терминах разложения по полиномам Эрмита.

[alisa-lebovski]

ИСН в сообщении #1473992 писал(а):

Нет, там их целое гнездо было, описываются не очень красиво, что-то в терминах разложения по полиномам Эрмита.

Где?

[svv]

alisa-lebovski в сообщении #1473978 писал(а):

$$f(t)=\pi p\left(\frac{\pi}{2}t\right)$$

То есть $p\left(c^2 t\right)=\frac 1 {\pi}\int\limits_{-\infty}^{\infty} e^{itx}\,p(x)\,dx$, где $c=\sqrt{\frac{\pi}2}$.
1) Заменим $x$ на $cx$.
2) Заменим $ct$ на $t$.
3) Обозначим $q(t)=p(ct)$.
Получим
$q(t)=\frac 1{\sqrt{2\pi}}\int\limits_{-\infty}^{\infty} e^{itx}\,q(x)\,dx$
Так что...

novichok2018 в сообщении #1473979 писал(а):

Я правильно понимаю, что задача сводится к собственным функциям преобразования Фурье?

...собственнее не бывает.

[mihaild]

Т.е. нам собственные функции преобразования Фурье, отвечающие собственному значению $1$ (т.е. комбинации $H_{4k}(x) e^{-\frac{x^2}{2}}$), неотрицательные на всей прямой.

[alisa-lebovski]

Как тогда получается случай $p(x)=\frac{1}{\pi\ch x}$, когда плотность убывает гораздо медленнее (как экспонента)?

[novichok2018]

Нужно наверное аккуратно согласовать определение преобразования Фурье (где плюс, где минус), с определением Феллера и с определением там характеристической функции.

[alisa-lebovski]

novichok2018 в сообщении #1474036 писал(а):

Нужно наверное аккуратно согласовать определение преобразования Фурье (где плюс, где минус), с определением Феллера и с определением там характеристической функции.

По-моему, это здесь не принципиально, потому что речь идет о функциях, симметричных относительно нуля.

[mihaild]

alisa-lebovski в сообщении #1474029 писал(а):

Как тогда получается случай $p(x)=\frac{1}{\pi\ch x}$, когда плотность убывает гораздо медленнее (как экспонента)?

Комбинации не обязаны быть конечными, достаточно сходимости в $L_2$. А бесконечная комбинация легко может убывать медленнее, чем слагаемые.
Как именно раскладывается $\frac{1}{\ch x}$ не скажу, но как-то раскладывается точно, потому что функции Эрмита полны в $L_2(\mathbb R)$.

[novichok2018]

Можно попробовать на МАТЕМАТИКЕ явно коэффициенты ряда посчитать.

Про описание всех таких функций - по существу после предложенных замен и упрощений речь идёт о нахождении функций, равных своему прямому или обратному преобразованию Фурье, так?

[alisa-lebovski]

Да, и кроме того они должны быть неотрицательны на всей прямой и интеграл от плотности равен единице.
В общем, понятно. Всем спасибо!

[svv]

novichok2018 в сообщении #1474048 писал(а):

Про описание всех таких функций - по существу после предложенных замен и упрощений речь идёт о нахождении функций, равных своему прямому или обратному преобразованию Фурье, так?

Да, речь идёт о таких функциях, только искать их не надо, они уже найдены.

См. книгу Колмогорова и Фомина «Элементы теории функций и функционального анализа» (2004), с.458-461 или в английской Википедии статью Hermite polynomials, пункт Hermite functions as eigenfunctions of the Fourier transform.

Функции Эрмита $\psi_n(x) = c_n e^{-\frac{x^2}{2}} H_n(x)$ (где $c_n$ — нормировочные множители) образуют ортонормированный базис в $L^2(\mathbb R)$. При этом
$\mathcal F(\psi_n(x))=(\pm i)^n \psi_n(t)$
Выбор знака зависит от соглашения, какое преобразование Фурье считать прямым, какое обратным.

Отсюда собственными значениями преобразования Фурье будут $1,i,-1,-i$. Собственному значению $1$ соответствуют функции Эрмита $\psi_{4n}(x)$. Любая их линейная комбинация (сходящаяся) тоже будет собственным вектором для с.з. $1$. Наоборот, любой собственный вектор преобразования Фурье, соответствующий с.з. $1$, должен быть линейной комбинацией функций $\psi_{4n}(x)$ (следует из линейной независимости системы).

-- Чт июл 16, 2020 17:50:43 --

И вообще,

Цитата:

it is possible to decompose $L^2(\mathbb R)$ as a direct sum of four spaces $H_0$, $H_1$, $H_2$, and $H_3$ where the Fourier transform acts on $H_k$ simply by multiplication by $i^k$.

Это круто.
Жаль только, найти проекции заданной функции на эти подпространства не проще, чем найти её преобразование Фурье.

[mihaild]

svv в сообщении #1474073 писал(а):

следует из линейной независимости системы

А не из полноты? Так-то пустая система тоже линейно независима.